线段树

Posted 2021-01-10 maoruimas

动态区间最值问题（查询、更新）
线段树原理简单，但我看刘书上实现代码比较麻烦，于是试着自己实现了一下。说明如下：

1. 出于简化的目的，总是将线段总长视为2的方幂（如果不足，预先补齐。且这样不会本质上影响复杂度）
2. 建树：由于是完全二叉树，叶子结点的编号是连续的，建树时只要从底向上扫一遍即可。复杂度(O(n))
3. 更新：从底向上扫一遍。复杂度(O(log(n)))

4. 查询：按照线段树的思想，找到待查询区间内完全二叉树的树根，并取最小值即可。复杂度的为(O(log(n)))。

   查询复杂度的证明：线段树的查询复杂度应当时(O(log(n)))。由代码可知，可能会使复杂度增加的仅有while循环。但能够进入while，当且仅当此时的l和r在同一颗子树里。分析可知，下一次进入while的树高小于等于上一次出while的树高，因此while循环最多要花(O(log(n)))的时间。

int stree[int i]stree[i]表示结点i的值
n补齐后的线段总长
int to_id(int x)原数据编号到结点编号
int query(int l,int r)查询[l,r]区间最值
void update(int p,int v)修改第p个数据为v

const int inf=0x3f3f3f3f;
int stree[4000];
int n;
inline int to_id(int x){return x+n-1;}
int query(int l,int r)
{
    int ans=inf;
    l=to_id(l);r=to_id(r);
    for(int t=l&(-l);l<=r;l=l+t)
    {
        while(l+t-1>r)t/=2;
        ans=min(ans,stree[l/t]);
    }
    return ans;
}
void update(int p,int v)
{
    stree[p=to_id(p)]=v;
    while(p=p/2)stree[p]=min(stree[2*p],stree[2*p+1]);
}

int main()
{
    ...
    int nn;
    while(~scanf("%d",&nn))
    {
        //补齐n
        n=1;
        while(n<nn)n*=2;
        //建树
        for(int i=n;i<2*n;++i)
        {
            int tmp=inf;
            if(i-n<nn)scanf("%d",&tmp);
            stree[i]=tmp;
        }
        for(int i=n-1;i>0;--i)stree[i]=min(stree[2*i],stree[2*i+1]);
        //测试
        int l,r;
        while(~scanf("%d%d",&l,&r))printf("%d
",query(l,r));
    }
}