[51nod1670] 打怪兽

Posted 2021-01-09 brimon

lyk在玩一个叫做“打怪兽”的游戏。
游戏的规则是这样的。
lyk一开始会有一个初始的能量值。每次遇到一个怪兽，若lyk的能量值>=怪兽的能量值，那么怪兽将会被打败，lyk的能量值增加1，否则lyk死亡，游戏结束。
若怪兽全部打完，游戏也将会结束。
共有n个怪兽，由于lyk比较弱，它一开始只有0点能量值。
n个怪兽排列随机，也就是说共有n!种可能，lyk想知道结束时它能量值的期望。
由于小数点比较麻烦，所以你只需要输出期望*n!关于1000000007取模后的值就可以了！

 

例如有两个怪兽，能量值分别为{0,1}，那么答案为2，因为游戏结束时有两种可能，lyk的能量值分别为0和2。期望为1,1*2!=2，所以答案为2。

Input

第一行一个数n(1<=n<=100000)。
接下来一行n个数ai表示怪兽的能量(0<=ai<n)。

Output

一行表示答案

Input示例

2
0 1

Output示例

2

---

可以发现一个性质，就是如果我们在第$i$局可以打第$j$个怪，那么在第$i+1$局活着的话可以打第$j$个怪。
那么我们设$f[i]$表示到第$i$轮还存活着的方案数。
显然可以递推$large f[i] = f[i-1] 	imes frac{sum[i-1]-i+1}{n-i+1}$.
$sum[i]$表示能量值小于等于$i$的怪的数量。
然后答案就是$large sum left(f[i-1]-f[i] 
ight ) 	imes left(i-1 
ight)$。

---

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define reg register
inline char gc() {
    static const int BS = 1 << 22;
    static unsigned char buf[BS], *st, *ed;
    if (st == ed) ed = buf + fread(st = buf, 1, BS, stdin);
    return st == ed ? EOF : *st++;
}
#define gc getchar
inline int read() {
    int res = 0;char ch=gc();bool fu=0;
    while(!isdigit(ch))fu|=(ch==‘-‘),ch=gc();
    while(isdigit(ch))res=(res<<3)+(res<<1)+(ch^48),ch=gc();
    return fu?-res:res;
}
#define mod 1000000007
#define ll long long
int n;
int sum[100005];
ll f[100005];
inline ll ksm(ll x, ll y)
{
    ll res = 1;
    while(y)
    {
        if (y & 1) res = res * x % mod;
        x = x * x % mod;
        y >>= 1;
    }
    return res;
}
int ans;

int main()
{
    n = read();
    for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++) sum[read()]++;
    for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++) sum[i] = sum[i - 1] + sum[i];
    f[0] = 1;
    for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++) f[0] = f[0] * i % mod;
    for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++)
        f[i] = f[i - 1] * (sum[i - 1] - i + 1) % mod * ksm(n - i + 1, mod - 2) % mod;
    for (reg int i = 1 ; i <= n ; i ++)
        ans = (ans + (f[i - 1] - f[i]) * (i - 1)) % mod;
    cout << (ans + f[n] * n) % mod << endl;
    return 0;
}