快速傅里叶变换FFT

Posted 2021-01-09 maoruimas

FFT是基于分治思想对DFT和IDFT的优化。

DFT: (mathbb{C} ^{N} ightarrow mathbb{C} ^{N}: left( x_{1},ldots ,x_{N} ight) ightarrow left( y_{1},ldots ,y_{N} ight))
IDFT是DFT的逆映射
记(omega _{N}=e^{dfrac {2pi i}{N}})，则
[DFT: y_{k}=sum ^{N-1}_{n=0}omega ^{nk}_{N}x_{n}IDFT: x_{k}=sum ^{N-1}_{n=0}dfrac {omega ^{-nk}_{N}}{N}y_{n}]
于是，DFT与IDFT都是N维复空间上的线性变换，其矩阵为Vandermonde矩阵。由于是矩阵乘法，复杂度为O(n^2)。注意到复单位根的性质使得DFT与IDFT高度相似，因此，只需要考虑降低DFT的复杂度即可。

定义：
[E_{k}=sum ^{N/2-1}_{m=0}omega ^{2mk}_{N}x_{2m}O_{k}=sum ^{N/2-1}_{m=0}omega ^{2mk}_{N}x_{2m+1}]
则[y_{k}=E_{k}+omega _{N}O_{k}y_{k+N/2}=E_{k}-omega _{N}0_{k}]
显然，如此递归可以将复杂度降至O(nlogn)。