预测算法——指数平滑法

Posted 2021-01-08 djangoblog

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目录

?1.指数平滑定义及公式

?2.一次指数平滑

?3二次指数平滑

?4.三次指数平滑

?5指数平滑系数α的确定

 

1、指数平滑的定义及公式

       产生背景：指数平滑由布朗提出、他认为时间序列的态势具有稳定性或规则性，所以时间序列可被合理地顺势推延；他认为最近的过去态势，在某种程度上会持续的未来，所以将较大的权数放在最近的资料。

       基本原理：指数平滑法是移动平均法中的一种，其特点在于给过去的观测值不一样的权重，即较近期观测值的权数比较远期观测值的权数要大。根据平滑次数不同，指数平滑法分为一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等。但它们的基本思想都是：预测值是以前观测值的加权和，且对不同的数据给予不同的权数，新数据给予较大的权数，旧数据给予较小的权数。

 

       方法应用：指数平滑法是生产预测中常用的一种方法。也用于中短期经济发展趋势预测，所有预测方法中，指数平滑是用得最多的一种。

 

指数平滑法的基本公式：St=a*yt+(1-a)*St-1 式中，

　　St--时间t的平滑值；

　　yt--时间t的实际值；

　　St-1--时间t-1的平滑值；

　　a--平滑常数，其取值范围为[0,1]

据平滑次数不同，指数平滑法分为：一次指数平滑法、二次指数平滑和三次指数平滑法等。

 

2、一次指数平滑预测

 

当时间数列无明显的趋势变化，可用一次指数平滑预测。其预测公式为：

　　             y^t+1‘=a*yt+(1-a)*yt‘     式中，

?    y^t+1‘--t+1期的预测值，即本期（t期）的平滑值St ；

?    y^t--t期的实际值；

?    y^t‘--t期的预测值，即上期的平滑值S^t-1 。

 

例题：已知某种产品最近15个月的销售量如下表所示：

                                    

 

用一次指数平滑值预测下个月的销售量y16。

 为了分析加权系数a的不同取值的特点，分别取a=0.1,a=0.3,a=0.5计算一次指数平滑值，并设初始值为最早的三个数据的平均值，：以a = 0.5的一次指数平滑值计算为例，有

 

计算得到下表：

按上表可得  时间15月对应的19.9  26.2  28.1可以分别根据预测公式来预测第16个月的销售量。

以a = 0.5为例：        y₁₆=0.5*29+(1-0.5)*28.1=28.55（万台）

由上述例题可得结论

1）指数平滑法对实际序列具有平滑作用，权系数（平滑系数）a  越小，平滑作用越强，但对实际数据的变动反应较迟缓。

2）在实际序列的线性变动部分，指数平滑值序列出现一定的滞后偏差的程度随着权系数（平滑系数）a  的增大而减少，但当时间序列的变动出现直线趋势时，用一次指数平滑法来进行预测仍将存在着明显的滞后偏差。因此，也需要进行修正。修正的方法也是在一次指数平滑的基础上再进行二次指数平滑，利用滞后偏差的规律找出曲线的发展方向和发展趋势，然后建立直线趋势预测模型，故称为二次指数平滑法。

 

3、二次指数平滑预测

 

 

1）  a为加权系数；

2）  指数平滑法对实际序列具有平滑作用，权系数（平滑系数）越小，平滑作用越强，但是对实际数据的变动反映较迟缓；

3）  在实际序列的线性变动部分，指数平滑值序列出现一定的滞后偏差的程度随着权系数(平滑系数)的增大而减少；但当时间序列的变动出现直线趋势时，用一次指数平滑法来进行预测仍将存在着明显的滞后偏差。因此，也需要进行修正。

4）  修正的方法也是在一次指数平滑的基础上再进行二次指数平滑，利用滞后偏差的规律找出曲线的发展方向和发展趋势，然后建立直线趋势预测模型，故称为二次指数平滑法。

在一次指数平滑的基础上得二次指数平滑 的计算公式为：                                                                      

 

?     式中： S_t⁽²⁾——第t周期的二次指数平滑值；

?                 S_t⁽¹⁾——第t周期的一次指数平滑值；

?                 S_t-1⁽²⁾——第t-1周期的二次指数平滑值；

?                 a ——加权系数（也称为平滑系数）。

 二次指数平滑法是对一次指数平滑值作再一次指数平滑的方法。它不能单独地进行预测，必须与一次指数平滑法配合，建立预测的数学模型，然后运用数学模型确定预测值。

二次指数平滑数学模型：

 

 

例题2：某地1983年至1993年财政入的资料如下，试用指数平滑法求解趋势直线方程并预测1996年的财政收入

例3：已知某厂1978～1998年的钢产量如下表所示，试预测1999年、2000年该厂的钢产量。（用excel如何实现平滑指数）

   

下面利用指数平滑工具进行预测，具体步骤如下：  
   选择工具菜单中的数据—数据分析命令，此时弹出数据分析对话框。      

   在分析工具列表框中，选择指数平滑工具。      

   这时将出现指数平滑对话框，如图所示：

一次指数平滑设置及输出

二次指数平滑设置及输出

最终结果输出及计算

根据二次平滑指数数学模型进行计算a、b值。

                 

得到趋势线预测模型：y=3994.9+141.2T，从而可以计算出：

y₁₉₉₉=3994.9+141.2*1=4136.14

y₂₀₀₀=3994.9+141.2*2= 4277.34

4、三次指数平滑预测

 

       若时间序列的变动呈现出二次曲线趋势，则需要采用三次指数平滑法进行预测。三次指数平滑是在二次指数平滑的基础上再进行一次平滑，其计算公式为：

                                                    

 

三次指数平滑法的预测模型为：

例4：我国某种耐用消费品1996年至2006年的销售量如表所示，试预测2007、2008年的销售量。

         三次指数平滑的计算表：

                                         

解：通过实际数据序列呈非线性递增趋势，采用三次指数平滑预测方法。解题步骤如下。确定指数平滑的初始值和权系数（平滑系数）a。设一次、二次指数平滑的初始值为最早三个数据的平均值，即

实际数据序列的倾向性变动较明显，权系数（平滑系数）a 不宜取太小，故取a= 0.3。 

根据指数平滑值计算公式依次计算一次、二次、三次指数平滑值：

 

计算非线性预测模型的系数a_t,b_t,c_t。目前周期数t = 11，将表1.6中的有关数据代入式（1-19）、式（1-20）、式（1-21）后分别得

 

 

建立非线性预测模型。将各系数代入式（1-18）得

预测2007年和2008年的产品销售量。2007年，其预测超前周期为T = 1；2008年，其预测超前周期为T = 2。代入模型，得预测2007年和2008年的产品销售量。2007年，其预测超前周期为T= 1；2008年，其预测超前周期为T= 2。代入模型，得

 

 

于是得到2007年的产品销售量的预测值为809万台，2008年的产品销售量的预测值为920万台。预测人员可以根据市场需求因素的变动情况，对上述预测结果进行评价和修正。

5、加权系数a的选择

 

在指数平滑法中，预测成功的关键是a的选择。a的大小规定了在新预测值中新数据和原预测值所占的比例。a值愈大，新数据所占的比重就愈大，原预测值所占比重就愈小，反之亦然。

指数平滑法的缺点：

 

?    （1）对数据的转折点缺乏鉴别能力，但这一点可通过调查预测法或专家预测法加以弥补。

?   （2）长期预测的效果较差，故多用于短期预测。

 指数平滑法的优点：

 

?    （1）对不同时间的数据的非等权处理较符合实际情况。

?    （2）实用中仅需选择一个模型参数a 即可进行预测，简便易行。

?    （3）具有适应性，也就是说预测模型能自动识别数据模式的变化而加以调整。

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