带黑洞的随机游走问题

Posted 2021-01-08 weiyinfu

对于无黑洞的随机游走问题可以使用线性方程组求解，对于有黑洞的随机游走问题就无法使用线性方程组进行求解了。
有黑洞的随机游走问题举例：

• 随机给定一个魔方状态，随机旋转期望通过多少步才能旋转到目标状态？
• 醉汉回家问题：一个人在x点处喝醉了，在N维空间中游走，它回到出发点的概率是多少？求p(N)

zhihu
一个整型数字x=6000,每次增长101的概率为49.32%，每次减少100元的概率为50.68%，问最终x&tt;7000的概率是多少？

显然，这个问题相当于一个随机游走问题，一共有100~7000共6900个结点，每个结点x有49.32%的概率走向x+101，有50.68%的概率走向x-100，当x<100或者x>=7000时游戏停止。

import numpy as np
import tensorflow as tf

lose = 0.4932
win = 1 - lose
win_value = 101
lose_value = 100
init_value = 6000
# 闭区间
ceil_value = 7000
floor_value = 100
A = np.zeros((7102, 7102))
for i in range(A.shape[0]):
    if ceil_value >= i >= floor_value:
        A[i - lose_value, i] = lose
        A[i + win_value, i] = win
    if not ceil_value >= i >= floor_value:
        A[i, i] = 1

A = tf.constant(A, dtype=np.float32)
p = np.zeros((A.shape[0], 1), dtype=np.float32)
p[init_value, 0] = 1
p = tf.Variable(p)
assign = tf.assign(p, tf.matmul(A, p))
with tf.Session() as sess:
    sess.run(tf.global_variables_initializer())
    for i in range(100):
        sess.run(assign)
        print(i)
    p_value = sess.run(p)
    print(np.sum(p_value[ceil_value:]), np.sum(p_value[floor_value:ceil_value]), np.sum(p_value[:floor_value]))

亏本这么少，是因为初始状态给的6000离7000非常近，本钱足够多，几乎不会亏本。
这种问题就像是一个带黑洞的随机游走问题，这个问题有两个黑洞，一个是足够大止盈黑洞一个是足够小止损黑洞，而中间部分几乎是慢慢往两边耗散的，最终中间部分应该是趋近于0。就像光线在一个管子里面来回反射，最后终将会从管子两边射出去，管子里面变得漆黑一片。由此推出：继续循环的概率这个数字可以看做此迭代结果的准确率指标。
在上面迭代过程中，只是简单的迭代，实际上可以使用快速幂进行加速。

import numpy as np
import tensorflow as tf

lose = 0.4932
win = 1 - lose
win_value = 101
lose_value = 100
init_value = 6000
# 闭区间
ceil_value = 7000
floor_value = 100
A = np.zeros((7102, 7102))
for i in range(A.shape[0]):
    if ceil_value >= i >= floor_value:
        A[i - lose_value, i] = lose
        A[i + win_value, i] = win
    if not ceil_value >= i >= floor_value:
        A[i, i] = 1
A = tf.Variable(A, dtype=np.float32)
assign = tf.assign(A, tf.matmul(A, A))
with tf.Session() as sess:
    sess.run(tf.global_variables_initializer())
    for i in range(1000):
        sess.run(assign)
        print(i)
    a = sess.run(A)
    p = a[:, init_value].reshape(-1)
    print("overflow", np.sum(p[ceil_value:]), "loop", np.sum(p[floor_value:ceil_value]), "downflow", np.sum(p[:floor_value]))