猴子课堂：最小费用最大流
Posted zhangjianjunab
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了猴子课堂：最小费用最大流相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
哦末，刚学了费用流，就来造福人民，哈哈，大佬勿喷（其实是GDOI爆零，心情不好写一篇博客安慰自己）
??
好了，回归正题，这里我只讲费用流的两种方法（没有负权环）
一样的，建反向边，然后就开始操作了！
首先，是MCMF费用流，即连续用SPFA计算从起点到终点的最小费用，在进行SPFA中顺带记录流量、前一个点、前一条边，然后，就。。。从终点回去更新一路到起点就行了，先给出SPFA（为什么会对？找最短费用，然后还有反向边后悔，为什么不行？）：
memset(v,false,sizeof(v));v[st]=true;/*统计这个数是否在队列*/
head=1;tail=2;list[1]=st;/*从前点开始*/
memset(dis,63,sizeof(dis));dis[st]=0;/*最小费用，从起点开始*/
b[ed]=-1;/*还要判断是否可行，b代表的前一条边，不太理解看后面*/
while(head!=tail)
{
int x=list[head];
for(int k=last[x];k;k=a[k].next)/*边目录存*/
{
int y=a[k].y;
if(a[k].c>0 && dis[x]+a[k].k<dis[y])/*看看这条可行边是否可以更新y点*/
{
dis[y]=dis[x]+a[k].k;/*更新*/
flow[y]=mymin(a[k].c,flow[x]);/*更新最多能到达的流量*/
qian[y]=x;/*更新到达y点的点*/b[y]=k;/*同时更新边*/
if(v[y]==false)/*扔进队列*/
{
v[y]=true;
list[tail++]=y;
if(tail==n+1)tail=1;
}
}
}
head++;
if(head==n+1)head=1;
v[x]=false;/*找完后将他改为false*/
}
下面给出将边修改的过程：
然后，吗。。。再来个主函数（感觉好鸡肋得主函数）：
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
st=1;ed=n;
for(register int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y;
ll z,k;
scanf("%d%d%lld%lld",&x,&y,&z,&k);
ins(x,y,z,k);
}
flow[st]=ll(999999999999999);/*初始化起点有无数的流量*/
while(spfa()==true);//一直到不存在路径为止。
printf("%lld %lld",zans,cost);/*输出*/
return 0;
}
ZKW大佬优化后的ZKW牌费用流（祛风除湿止痛费用流哟，年轻人）：
大佬的方法就是找到多条增广路，用SPFA找到多条增广路（从终点开始计算（然而从起点开始好像也无所谓啦！但是，作者用自己的亲身试验证明，会慢！╯﹏╰，不知为什么））。
如图：
?
这张图，明显用MCMF要两次SPFA，但是，SPFA的特点是可以计算出所有点离起点有多远！所以，咱们可以用一次递归来找出所有最短路径。
ZKW费用流的SPFA
inline ll mymin(ll x,ll y){return x<y?x:y;}/*找最小值*/
long long find(int x,ll f)
{
v[x]=true;
if(x==ed)return f;
ll ans=0,t=0;
for(int k=last[x];k;k=a[k].next)
{
int y=a[k].y;
if(v[y]==false/*这个点在这条路径没走过才可以走，否则。。。Balabala*/ && a[k].c>0 && d[x]-a[k].k==d[y]/*类似分层的操作*/ && ans<f)
{
ans+=t=find(y,mymin(a[k].c,f-ans));/*是不是很眼熟？*/
a[k].c-=t;a[a[k].other].c+=t;cost+=t*a[k].k;
}
}
return ans;/*妥妥的像最大流*/
}
牛逼的！主函数：
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
st=1;ed=n;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y;
ll z,l;
scanf("%d%d%lld%lld",&x,&y,&z,&l);
ins(x,y,z,l);
}
ll zans=0;
while(spfa()==true)/*建图完成！*/
{
do
{
memset(v,false,sizeof(v));
zans+=find(st,ll(999999999999999));/*多次查找，找出所有增光路哦*/
}while(v[ed]==true);/*走不到终点，退出！*/
}
printf("%lld %lld",zans,cost);
return 0;
}
然而。。。
还可以更优！
细心的同学可以发现了一个尴尬的情况：
?
但是：
?
于是，当找到t>0时，break;就可以了！
但是，你又会发现，不断的break，多次递归，太慢了。
?
于是，你可以将递归加个回溯，这就快多了：
find函数：
inline ll mymin(ll x,ll y){return x<y?x:y;}/*找最小值*/
long long find(int x,ll f)
{
v[x]=true;
if(x==ed){v[x]=false;return f;}
ll ans=0,t=0;
for(int k=last[x];k;k=a[k].next)
{
int y=a[k].y;
if(v[y]==false/*这个点没走过才可以走，否则更新边的流量是会Balabala*/ && a[k].c>0 && d[x]-a[k].k==d[y]/*类似分层的操作*/ && ans<f)
{
ans+=t=find(y,mymin(a[k].c,f-ans));/*是不是很眼熟？*/
a[k].c-=t;a[a[k].other].c+=t;cost+=t*a[k].k;
}
}
v[x]=false;/*回溯*/
return ans;/*妥妥的像最大流*/
}
主函数：
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
st=1;ed=n;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y;
ll z,l;
scanf("%d%d%lld%lld",&x,&y,&z,&l);
ins(x,y,z,l);
}
ll zans=0;
while(spfa()==true)/*建图完成！*/
{
zans+=find(st,ll(999999999999999));/*开心，一次就够！*/
}
printf("%lld %lld",zans,cost);
return 0;
}
?
最后，贴上整个代码，祝大家学会网络流：
最后，总结一下，稀疏图用MCMF会快（很暴力，我喜欢！），稠密图还是用ZKW费用流吧（多条的增光路哟，年轻人！）
???
（大佬表示：垃圾，没证明）（萌新表示：垃圾，看不懂！）（我：但是我可以秀图！）
注：上面的图片侵权抱歉！
以上是关于猴子课堂：最小费用最大流的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章