1257: [CQOI2007]余数之和

Posted 2021-01-08 inwill

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Description

给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值

其中k mod i表示k除以i的余数。

例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7

Input

输入仅一行，包含两个整数n, k。

1<=n ,k<=10^9

 

Output

输出仅一行，即j(n, k)。

Sample Input

5 3

Sample Output

7

 

非常巧妙的数论题

首先可以推出：k%i=k-(int)(k/i)*i

根据归纳法，可以得出在一段区间内k/i的值不变

设w=(int)(k/i)，而区间的右边界r=k/w

于是利用等差数列求和公式，得出ans=(r-(i-1))*k-w*(r-i+1)*(r+i)/2

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 using namespace std;
 4 
 5 #define LL long long
 6 
 7 LL n,k,w,r,ans;
 8 
 9 int main()
10 {
11     scanf("%lld%lld",&n,&k);
12     if(n>k)
13     {
14         ans=(n-k)*k;
15         n=k;
16     }
17     for(int i=1;i<=n;i=r+1)
18     {
19         w=k/i;r=k/w;
20         if(r>n) r=n;
21         ans+=(r-i+1)*k-w*(r-i+1)*(r+i)/2;
22     }
23     printf("%lld
",ans);
24     return 0;
25 }