36辆车和6个赛道，筛选出最快的3辆车

Posted 2020-08-27

问题描述：有36辆赛车和6条跑道，没有计时器的前提下，最少用几次比赛可以筛选出最快的3辆赛车？

情况1:不能标记

• 将36辆车分成6组，每组6辆车，每组分别进行比赛，留下每组的前3名。还有18辆车（6次）
• 将18辆车分成3组，每组6辆车，每组分别进行比赛，留下每组的前3名。还有9辆车（3次）
• 从9辆车中选择6辆进行一次比赛，留下前3名。留下的3辆车和没有参加比赛的3辆车，还有6辆车（1次）
• 最后6辆车比赛选出前3名（1次）

　　总共6+3+1+1=11次

情况2:可以标记

　　方法1（8次）

• 将36辆车分成6组，每组6辆车，每组分别进行比赛，留下每组的前3名，标记。得到A1、A2、A3、...、F1、F2、F3共18辆车（6次）
• 选择上次比赛每组的第1名进行比赛，得到前3名。A1、B1、C1、D1、E1、F1  --->  D1、A1、E1（假设是这三个，不影响结果）（1次）
• 上次比赛的第1名D1就是最终的第1名，选择D2、D3、A1、A2、E1（第1名所在分组的2、3名；第2名所在分组的1、2名；第3名所在分组的第1名）共5辆车进行一次比赛，得到前2名，这两辆车和D1组成了最终的结果（1次）

　　总共6+1+1=8次

　　方法2（7-10次）

• 选择6辆车进行一次比赛，得到前3名标记为S1、S2、S3（1次）
• 剩余的30辆车分成6组，每组有5辆车。每组的5辆车和S3进行比赛。如果每一组中S3都是最快的，结束（6次）
• 否则，最坏情况下，从上次6组比赛前3名组成的A1、A2、A3、...、F1、F2、F3共18辆车中选择前3名（2次，同方法1）
• 上次比赛的前3名和S1、S2、S3进行比赛，得到最终的结果（1次）

　　总共1+6=7（最好）、1+6+2+1=10次（最坏）

　　方法3（10次）

• 将36辆车分成6组，每组6辆车，每组分别进行比赛，留下每组的前3名，标记A1、A2、A3、...、F1、F2、F3共18辆车（6次）
• 每组的第一名进行一次比赛A1、B1、C1、D1、E1、F1留下前3名B1、A1、F1（1次）
• 第一次比赛每组的第二名进行一次比赛A2、B2、C2、D2、E2、F2留下前2名A2、E2（1次）
• 第一次比赛每组的第三名进行一次比赛A3、B3、C3、D3、E3、F3留下第1名B3（1次）
• B1、A1、F1、A2、E2、B3组成的6辆车，进行1次比赛，得到最终的结果（1次）

　　总共6+1+1+1+1=10次

　　所以最快的方法是7次，最稳定又快速的方法是8次。

变形1：有25匹马，5条跑道，选出最快的5匹马

　　有标记

• 将25匹马分成5组，每组5匹马，每组分别进行比赛，标记A1、A2、A3、A4、A5、...、E1、E2、E3、E4、E5（5次）
• 每组的第1名进行比赛A1、B1、C1、D1、E1得到的第1名为最终的第一名，假设为B1（1次，选出1匹）
• 每组当前的第1名进行比赛A1、B2、C1、D1、E1得到的第1名为最终的第二名（1次，选出2匹）
• 以此类推，每次比赛都可以选出一匹最快的马。

　　总共5+1+1+1+1+1=10次

变形2：有38头牛，6条赛道，选出跑的最快的3头牛。

　　无标记

　　方法1（13次）

• 将其中的36头牛分成6组，分别进行比赛，留下前3名，共18头牛，与没有参与比赛的牛总共20头（6次）
• 将20头牛分成4组，每组5头牛，比赛留下前3名，共12头牛（4次）
• 将12头牛分成2组，每组6头牛，比赛留下前3名，共6头牛（2次）
• 剩下的6头牛比赛，得到最终的结果（1次）

　　总共6+4+2+1=13次

　　方法2（11次）

• 从38头牛中随机挑出2头牛，不参与比赛（0次）
• 从剩下的36头牛中选择跑的最快的3头牛（11次，同情况1）
• 挑出的2头牛和选出的3头牛比赛，得到最终的结果（1次）

　　总共11+1=12次

　　有标记

• 从38头牛中随机挑出2头牛，不参与比赛（0次）
• 从剩下的36头牛中选择跑的最快的3头牛（8次，同情况2的方法1）
• 最终比赛一次，得到结果（1次）

　　总共8+1=9次