归纳数学常识提高运算速度

Posted 2021-01-07 wanghai0666

一、与函数的性质紧密相关的数学素材

①当$xin(0，1)$时，$cdots< x^4< x^3< x^2< x <1$；此时与幂函数有关。幂函数图像
②“$a>b$”是“$a^2>b^2$”的既不充分也不必要条件，和函数$y=x^2$的单调、奇偶有关；
“$a>b$”是“$|a|>|b|$”的既不充分也不必要条件，和函数$y=|x|$的单调性和图像有关；
“$a>b$”是“$a^3>b^3$”的充要条件，和函数$y=x^3$的单调性有关；
“$a>b$”是“$sqrt{a}>sqrt{b}$”的必要不充分条件，和函数$y=sqrt{x}$的单调性和图像有关；
③复合函数的求导
④不等式性质$a>b,ab>0Rightarrow cfrac{1}{a} $a>b，ab>0$其实包含两种情形：$a>b>0$和$0>a>b$；
由函数$y=cfrac{1}{x}$的图像或者单调性都可以很容易得到$cfrac{1}{a} ⑤对于函数$f(x)，xin D$，若存在$x_1，x_2in D$，使得$f(x_1)leq f(x)leq f(x_2)$恒成立，
则$f(x_1)=f(x)_{min}$，$f(x_2)=f(x)_{max}$，且$x_1，x_2$分别是最小值点和最大值点。
⑥奇偶性：$f(-x)+f(x)=0$，奇函数；$f(-x)-f(x)=0$，偶函数；
多项式函数$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$为奇函数的充要条件是偶次幂项的系数为零，即$a=c=e=0$
多项式函数$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$为偶函数的充要条件是奇次幂项的系数为零，即$b=d=0$
⑦单调性：$cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0$，则$f(x)$为增函数；$cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<0$，则$f(x)$为减函数；
⑧周期性：$f(x+a)=-f(x)$，则$T=2a$；$f(x+a)=cfrac{k}{f(x)}(k eq 0)$，则$T=2a$；
⑨对称性：$f(2-x)+f(x)=4$，则函数关于点$(1，2)$对称；$f(4-x)-f(x)=0$，则函数关于直线$x=2$对称；
⑩熟记结论：$t=sqrt{x}+1$，则$tge 1$；$t=x+cfrac{1}{x}$，则$|t|ge 2$；$t=sinx+cosx$，则$tin [-sqrt{2}，sqrt{2}]$；

二、与不等式性质相关的数学素材

①能转化为恒成立问题的素材：全称命题，定义域为$R$的问题，不等式解集为$R$或者区间$[a，b]$；
能转化为能成立问题的素材：特称命题，不等式有解问题，
②解不等式中常用的因式分解：$ab+1>a+bLeftrightarrow (a-1)(b-1)>0Leftrightarrow (1-a)(1-b)>0$；
$x^2-(a^2+a)x+a^3=(x-a^2)(x-a)$；$ax^2-(a+1)x+1=(ax-1)(x-1)$；
③已知$x>y>z$，且$x+y+z=0$，则可知$x>0$，$z<0$，$y$值不能确定。
由此我们可知，在$Delta ABC$中，最大的内角不小于$60^{circ}$；最小的内角不大于$60^{circ}$；
④$xin(0，cfrac{pi}{2})$，则$sinx < x < tanx$；$1< sinx+cosx leq sqrt{2}$；$|sinx|+|cosx|ge 1$；
⑤在锐角三角形中，$sinA > cosB$；$sinB > cosC$；$sinC >cosA$；
⑥$A >cfrac{pi}{2}-B$，即$sinA > sin(cfrac{pi}{2}-B)=cosB$，其余同理；
$sinA+sinB+sinC > cosA+cosB+cosC$
⑦若$A、B$是钝角三角形的两个锐角，则有$sinA < cosB$；$cosA > sinB$；
⑧对$forall xin R，x^2 pm x+1>0$恒成立；比如解不等式$ln^2(lnx)-ln(lnx)+1>0$，
令$ln(lnx)=t$，则转化为$t^2-t+1>0$，故$t=ln(lnx)in R$，即解集为${xmid x>0}$
⑨恒成立模型：已知$xin D$，$f(x)ge A$恒成立$Leftrightarrow f(x)_{min}ge A$；
$xin D$，$f(x)leq A$恒成立$Leftrightarrow f(x)_{max}leq A$；
⑩能成立模型：已知$xin D$，$f(x)ge A$能成立$Leftrightarrow f(x)_{max}ge A$；
$xin D$，$f(x)leq A$能成立$Leftrightarrow f(x)_{min}leq A$；
⒒不等式证明中比较常用的不等关系：$e^xge x+1$；$x-1ge lnx$；
⒓若$(x-1)^2leq 0$，则有$x=1$；若$|x-2|leq 0$，则有$x=2$；则$B={xmid x^2-1<0}=varnothing$
⒔⒕

三、与数列相关的数学素材

①在$Delta ABC$中，三个内角$A、B、C$成等差数列，则$B=cfrac{pi}{3}$。
②在数列章节中，先不做计算，保持数列的项的形很重要，
比如$a_1=1，a_2=1+2，a_3=1+2+3，a_4=1+2+3+4$，
不做计算，就很方便观察归纳$a_n=1+2+cdots+n$；
③常用的运算公式还有$1-q^6=1-(q^3)^2=(1+q^3)(1-q^3)$；
$1-q^3=(1-q)(1+q+q^2)$；$1-q^2=(1-q)(1+q)$；
④当涉及等比数列的$S_n$时，若下标$n$比较小的时候，我们常常使用定义式求解而不是用公式，
比如已知等比数列的$S_n=8$，则可知$a_1+a_2+a_3=8$，这样可以有效的避免分类讨论，
而不是利用$cfrac{a_1(1-q^3)}{1-q}=8$来计算，
如果非要利用这个公式，你就必须先分类讨论排除$q eq 1$，否则使用就是错的。
⑤设等比数列${a_n}$的前$n$项的和为$S_n$，若$cfrac{S_6}{S_3}=cfrac{1}{2}$，则$cfrac{S_9}{S_6}$=？
分析：引入比例因子，设$cfrac{S_6}{S_3}=cfrac{1}{2}=cfrac{k}{2k}(k eq 0)$，
则$S_6=k$，$S_3=2k$， $S_6-S_3=-k$，
由$S_3，S_6-S_3，S_9-S_6$成等比数列，
可知$S_9-S_6=cfrac{k}{2}$，则$S_9=cfrac{3k}{2}$， 故$cfrac{S_9}{S_6}=cfrac{frac{3k}{2}}{2k}=cfrac{3}{4}$。
同时注意整体运算，比如给定等比数列${a_n}$的公比为$q=2$，求$cfrac{a_8+a_9+a_{10}}{a_5+a_6+a_7}$的值。
由题目可知，$cfrac{a_8+a_9+a_{10}}{a_5+a_6+a_7}=cfrac{(a_5+a_6+a_7)cdot q^3}{a_5+a_6+a_7}=q^3=8$
⑦形如$a_{n+1}-a_n = kcdot a_{n+1}cdot a_n$，($k$为常数)，
等式两边同除以$a_{n+1}cdot a_n$，变形得到$cfrac{1}{a_{n+1}}-cfrac{1}{a_n}=-k$，即构造了等差数列${cfrac{1}{a_n}}$；
⑧在数列题目中，若出现各项为正数或各项均不为$0$，则必有$a_n>0$，
也有$a_n+a_{n+1}>0$，或者$a_n+a_{n-1}>0$，这样就为约分埋下了伏笔。
比如某个题目变形得到$(a_n+a_{n-1})(a_n-a_{n-1})=a_n+a_{n-1}$，约掉$a_n+a_{n-1}$，得到$a_n-a_{n-1}=1$，即${a_n}$是等差数列。
若出现证明数列${a_n+1}$为等比数列，则你必须意识题目已经给了变形的提示，因为变形到最后必然会出现$a_n+1=p(a_{n-1}+1)(p为常数)$，
或者出现同类型的$a_{n+1}+1=p(a_n+1)(p为常数)$，这样你往上回溯，自然就会看到题目应该怎么变形了。

四、与三角形相关的数学素材

$sin15^{circ}=cos75^{circ}=cfrac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4}$；$sin75^{circ}=cos15^{circ}=cfrac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4}$；$tan15^{circ}=2-sqrt{3}$；$cot15^{circ}=2+sqrt{3}$；
三角形的三个内角之比为$1：1：1(60^{circ}，60^{circ}，60^{circ})$；$1：2：1(45^{circ}，90^{circ}，45^{circ})$；$1：2：2(36^{circ}，72^{circ}，72^{circ})$；$1：3：1(36^{circ}，108^{circ}，36^{circ})$；$1：4：1(30^{circ}，120^{circ}，30^{circ})$；
①常用的勾股数：$3n，4n，5n(nin N^*)$；$5，12，13$；$7，24，25$；$8，15，17$；$9，40，41$；
②连比形式或比例形式，可以引入非零比例因子简化运算：
如三角形的三边之比为$a：b：c=2：3：4$，则可以设$a=2k，b=3k，c=4k(k>0)$；
同样的思路也可以用到圆锥曲线中，
比如已知离心率$e=cfrac{c}{a}=sqrt{3}$，则可知$c=sqrt{3}t，a=t(t>0)$ ，则有$b=sqrt{2}t$；
再如$Delta ABC$中，给定$cfrac{a}{cosA}=cfrac{b}{cosB}=cfrac{c}{cosC}$，
若令$cfrac{a}{cosA}=cfrac{b}{cosB}=cfrac{c}{cosC}=k$，
则有$cosA=cfrac{a}{k}$，$cosB=cfrac{b}{k}$，$cosC=cfrac{c}{k}$，
再结合$sinA=cfrac{a}{2R}$，$sinB=cfrac{b}{2R}$，$sinC=cfrac{c}{2R}$，
故有$tanA=tanB=tanC=cfrac{k}{2R}$，故$A=B=C=cfrac{pi}{3}$。
③需要我们烂熟于心的三角变形
$sin hetapm cos heta=sqrt{2}sin( hetapmcfrac{pi}{4})$；
$sqrt{2}sin hetapm sqrt{2}cos heta=2sin( hetapmcfrac{pi}{4})$；
$cfrac{sqrt{3}}{2}sin hetapmcfrac{1}{2}cos heta=sin( hetapmcfrac{pi}{6})$；
$cfrac{1}{2}sin hetapmcfrac{sqrt{3}}{2}cos heta=sin( hetapmcfrac{pi}{3})$；
$sqrt{3}sin hetapm cos heta=2sin( hetapmcfrac{pi}{6})$；
$sin hetapmsqrt{3}cos heta=2sin( hetapmcfrac{pi}{3})$；
④三角函数中的弦切互化
$cfrac{2sin heta+3cos heta}{sin heta-2cos heta}xlongequal[转化为关于tan heta的一元函数]{分子分母同除以cos heta}cfrac{2tan heta+3}{tan heta-2}$(弦化切，二元化一元)；
$cfrac{2sin^2 heta+3cos^2 heta}{sin^2 heta-2cos^2 heta}xlongequal[转化为关于tan heta的一元函数]{分子分母同除以cos^2 heta}cfrac{2tan^2 heta+3}{tan^2 heta-2}$(弦化切，二元化一元)
$tan heta=cfrac{sin heta}{cos heta}xlongequal[转化为二元函数]{分子分母同乘以2cos heta}$
$=cfrac{2sin heta cos heta}{2cos heta cos heta}=cfrac{sin2 heta}{1+cos2 heta}$(切化弦，一元化二元)；
$tan heta=cfrac{sin heta}{cos heta}xlongequal[转化为二元函数]{分子分母同乘以2sin heta}$
$=cfrac{2sin heta sin heta}{2cos heta sin heta}=cfrac{1-cos2 heta}{sin2 heta}$(切化弦，一元化二元)
⑤当涉及$y=Asin(omega x+phi)+k$型函数，需要做其图像时，如果将$omega x+phi$这个整体作为横轴，
比将$x$作为横轴要节省大量时间，但是要注意有些题目却要求横轴是$x$轴，比如单调区间类的题目。
⑥高考的三角函数解答题中， 若是与求三角形的周长问题，
一般都是给定了或者必定能求解得到一组对边(比如$a$)和对角($A$)，
这时$2R$就相当于已知了。$cfrac{a}{sinA}=2R$。

五、与函数图像有关

①由单位圆$x^2+y^2=1$可知，$0< y 由椭圆$cfrac{x^2}{9}+cfrac{y^2}{4}=1$可知，$0< y ②图像变换、函数与方程等章节中常用的函数：
$y=|x|$；$y=a^{|x|}(a >1)$；$y=a^{|x|}(0< a <1)$；$y=|x^2-2x-4|$
$y=lg|x|$；$y=|lg|x||$；$y=|lgx|$；
$y=xcdot lnx$，$y=cfrac{lnx}{x}$，$y=e^x+e^{-x}$；
$y=xcdot e^x$，$y=cfrac{e^x}{x}$，
注意以下函数中的参数$a$的作用；
$y=acdot x^2$；$y=acdot |x|$；$y=acdot e^x$；$y=acdot lnx$
常见的奇函数：
$f(x)=kx$；$f(x)=x^3$；$f(x)=x^k(k为奇数)$；$y=Asinomega x$；$y=e^x-e^{-x}$；$y=lncfrac{x+1}{x-1}$；
常见的偶函数：
$f(x)=x^2$；$y=k|x|(kin R)$；$y=e^{|x|}$；$f(x)=x^k(k为偶数)$；$y=Acosomega x$；$y=e^x+e^{-x}$；
③函数$f(x)=xpm sinx$单调递增，因为$f‘(x)=1pm cosxge 0$；
函数$f(x)=xpm cosx$单调递增，因为$f‘(x)=1pm sinxge 0$。
④函数$y=x$与函数$y=sinx$只有一个交点。
函数$y=2^x$与函数$y=x^2$在$xin R$上时有三个交点；
函数$y=2^x$与函数$y=x^2$在$x >0$时有两个交点$(2，4)和(4，16)$；
它们各自的反函数$y=log _2;x$与$y=sqrt{x}$在$x>0$时有两个交点$(4，2)和(16，4)$；
⑤$log_2^a=cfrac{1}{log_a^2}$；
$log_abcdot log_bc cdot log_cd=log_a d$；
$-lncfrac{x-1}{x+1}=lncfrac{x+1}{x-1}$；
⑥已知函数$f(x)=|lgx|$，若 $0< a < b$且$f(a)=f(b)$，则得到$0< a < 1 < b$，
且$f(a)=|lga|=-lga$，$f(b)=|lgb|=lgb$，故由$f(a)=f(b)$得到，
$-lga=lgb$，即$lga+lgb=0=lg1$，故$ab=1$或者$b=cfrac{1}{a}$；
⑦含有对数的函数的奇偶性判断，利用$f(-x)+f(x)=0$要简单一些，
比如$f(x)=lncfrac{1+x}{1-x}$，$f(-x)=lncfrac{1-x}{1+x}$，
则$f(x)+f(-x)=ln1=0$，故$f(x)=lncfrac{1+x}{1-x}$为奇函数。
⑧$a^2-3ab+2b^2=0Rightarrow(cfrac{a}{b})^2-3(cfrac{a}{b})+2=0$
⑨做函数图像时，如果里面含有$e^x$和$lnx$时，则作图时除要特别注意单调性以外，
还得注意函数值的正负以及特殊点。 如函数$y=xcdot e^x$的图像，我们容易利用导数求出函数在$(-infty，-1)$上单调递减，
在$(-1，+infty)$上单调递增，且函数过原点；
但是在做草图时，很容易错误的画成如右图的红色虚线，
其实正确图像应该是图中的蓝色图像，
其中在区间$(-infty，-1)$上，函数的值应该是负值。

六、与恒过定点有关

①直线$y=kx+1$恒过定点$(0，1)$；
②函数$y=2^{x-a}$恒过定点$(a，1)$；函数$y=log_2^;{(x-a)}$恒过定点$(a+1，0)$；
③函数$y=acdot |x|$恒过定点$(0，0)$；函数$y=acdot x^2$恒过定点$(0，0)$；
④函数$y=acdot x^2+1(a>0)$恒过定点$(1，0)$；$a$的作用会改变抛物线的张角大小。
⑤函数$y=acdot e^x(a>0)$不恒过定点$(1，0)$；
⑥函数与导数题型中的恒过定点问题，
比如函数$g(x)=lnx+1-x$，我们应该看出来$g(1)=0$；
再比如函数$g(x)=ln(x-1)+2-x$，我们应该看出来$g(2)=0$；
再比如已知$lambda(x-1)-2lnx ge 0$对任意$xin(0，1]$恒成立，若令$h(x)=lambda(x-1)-2lnx$，你就应该看出来$h(1)=0$
再比如函数$h(t)=2e^{t-frac{1}{2}}-cfrac{1}{t}$，则$h(cfrac{1}{2})=0$
⑦

七、与运算技巧有关

①$35^2=3 imes 4|5 imes5=1225$； $x^2=|x|^2$；$vec{a}^2=|vec{a}|^2$
②有关不等式混合组的运算，有时候验证比运算来得快，
比如$egin{cases}x=2①\\x^2-3x+2leq 0②end{cases}$，一般我们是求解②式，和①式求交集，
不妨将①代入②式验证，要快得多，解集为单元素集${2}$。
再比如，求解不等式组，$egin{cases}xge0①\\1-2^{-x}<-cfrac{1}{2}②end{cases}$，
即$egin{cases}xge0①\\2^{-x}>cfrac{3}{2}②end{cases}$，
若求解很麻烦，直接将①代入②验证，得到解集为$xinvarnothing$。
再比如，某问题转化为解方程$cfrac{-2}{m-1}+cfrac{3}{m+1}=0$，如果是解答题或填空题求解$m$的值，我们只能求解；
若是在$3、4、5、6$中选择$m$的值，我们用代值验证法要快得多。
③相关性检验的$K^2$的计算中，先化简，后计算。
比如$K^2=cfrac{105 imes(10 imes30-20 imes45)^2}{55 imes 50 imes30 imes75}$
$=cfrac{21 imes(300-900)^2}{11 imes 50 imes30 imes75}$
$=cfrac{21 imes600 imes600}{11 imes 50 imes30 imes75}$
$=cfrac{21 imes12 imes20}{11 imes 1 imes 1 imes75}$
$=cfrac{7 imes12 imes20}{11 imes 1 imes 1 imes25}$
$=cfrac{7 imes12 imes4}{11 imes 1 imes 1 imes5}$
$=cfrac{336}{55}=6.11$
④数乘到式乘 ，如右图。
⑤设点技巧：
如圆$x^2+y^2=R^2$，
则圆上任一点坐标可设为$(x，y)$，也可设为$(Rcdot cos heta ，Rcdot sin heta)$；
椭圆$cfrac{x^2}{a^2}+cfrac{y^2}{b^2}=1$，
则椭圆上任一点坐标可设为$(x，y)$，也可设为$(acdot cos heta ，bcdot sin heta)$；
再比如抛物线$y^2=4x$上任一点可设为$(4t^2，4t)$
⑥设数技巧，三个数成等差数列，设为$a-d，a，a+d$；
三个数成等比数列，设为$cfrac{a}{q}，a，aq$；
⑦解方程时两边能约分的，先约分再化简，能提高解题速度和准确度。
比如用余弦定理解题时有个方程是这样的：
$(60t)^2=80^2+40^2-2 imes 80 imes 40 imes cos120^{circ}$，
先化简得到$3600t^2=6400+1600+3200$，
再化简得到$36 ot{0} ot{0}t^2=64 ot{0} ot{0}+16 ot{0} ot{0}+32 ot{0} ot{0}$，
两边再约去$4$，得到$9t^2=16+4+8$，
此时口算都能得到$9t^2=28$，即$t=cfrac{2sqrt{7}}{3}$。
⑧平均数的计算技巧
比如计算一组数据$515，521，527，531，532，536，543，548，558，559$的平均数。
$ar{x}=500+cfrac{15+21+27+31+32+36+43+48+58+59}{10}=537$；
$ar{x}=540+cfrac{-25-19-13-9-8-4+3+8+18+19}{10}=540+cfrac{-30}{10}=537$；
⑨关于指数对数的运算
⑩解绝对值方程，$|k+4|-|k|=2$，
先移项得到$|k+4|=2+|k|$，再两边平方，
得到$|k|=2k+3$，再平方，得到$k^2+4k+3=0$
解得$k=-1$或$k=-3$
检验得到，$k=-3$舍去，故$k=-1$(注意，一旦平方可能扩大范围，造成增根，故要想到检验)

八、与坐标系与参数方程有关

弦长公式：
$ |AB|xlongequal[韦达定理]{直角坐标系下}|x_1-x_2|sqrt{1+k^2}= sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}sqrt{1+k^2}$
$|AB|xlongequal[极角相同]{极坐标系下}| ho_1- ho_2|$
$|AB|xlongequal[参数的几何意义]{参数方程下}|t_1-t_2|$
圆、椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，待整理

九、与概率与统计有关

常见的古典概型：

十、数学方法篇和数学思想篇

1、高中数学中常用的数学方法都有哪些？
2、高中数学中常用的高频变形都有哪些？
3、高中常用的数学思想都有哪些？都在什么时候用？
4、与数学自身有关的思想有：函数与方程思想、数形结合思想；
与数学自身关系不是很紧密的思想有：分类讨论思想、转化划归思想(变量集中)；
与哲学有关的思想：特殊与一般思想(部分与整体)、有限与无限思想；
与自然生活有关的思想：或然与必然思想；
陕西数学教科所副主任 马亚军总结
5、