如何确定高斯滤波的标准差和窗口大小

Posted 2021-01-07 shine-lee

高斯函数与高斯滤波

一维高斯函数我们都熟悉，形式如下：

[G(x) = frac{1}{sqrt{2pi}sigma} exp(-frac{x^2}{2sigma^2})]

计算机视觉中，高斯滤波使用的高斯核为(x)和(y)两个一维高斯的乘积，两个维度上的标准差(sigma)通常相同，形式如下：

[G(x, y) = frac{1}{2pisigma^2}exp(-frac{x^2+y^2}{2sigma^2})]

高斯滤波（平滑），即用某一尺寸的二维高斯核与图像进行卷积。高斯核是对连续高斯函数的离散近似，通常对高斯曲面进行离散采样和归一化得出，这里，归一化指的是卷积核所有元素之和为1，下图为标准高斯和(sigma=1.4)大小为(5 imes5)的高斯核。

标准差

当(mu=0)时，唯一需要控制的参数就是标准差(sigma)，多少合适呢？(sigma)的确定十分依赖于问题背景，需要具体问题具体分析。但理解(sigma)的作用，可以指导调整的方向。

高斯核可以看成是与中心距离负相关的权重。平滑时，调整(sigma)实际是在调整周围像素对当前像素的影响程度，调大(sigma)即提高了远处像素对中心像素的影响程度，滤波结果也就越平滑。高斯曲线随(sigma)变化的曲线如下：

从频域角度看，高斯函数的傅立叶变换仍是高斯，两者标准差间的关系如下：

[sigma_x = frac{1}{2pi sigma_w}]

其中，(sigma_x)为空域高斯的标准差，(sigma_w)为对应频域高斯的标准差，在空域进行高斯平滑相当于频域低通滤波，(sigma_x)越大，(sigma_w)越小，频域高斯越集中，高频成分削弱得越多，图像越平滑。

从低通滤波角度考虑，可以对图像做傅立叶变换进行频谱分析，叠加上频域高斯并调整查看效果，找到适合的(sigma_w)，再推算出空域高斯所需的(sigma_x)。

窗口大小

标准差(sigma)确定后，接下来需要确定窗口大小。上面讲了高斯核是对连续高斯的离散近似，窗口越大自然近似越好，但高斯函数是钟形曲线，距离中心越远数值越小，足够远处可以忽略不计，但多远算远呢？

钟型曲线在区间((mu - sigma, mu +sigma))范围内的面积占曲线下总面积的(68\%)，((mu - 2sigma, mu +2sigma))范围占(95\%)，((mu - 3sigma, mu +3sigma))范围占(99.7\%)，一般(3sigma)外的数值已接近于0，可忽略，半径为(3sigma)即窗口大小为(6sigma imes 6sigma)即可，通常取最近的奇数。上述3个范围在一维和二维高斯中示意如下：

OpenCV中标准差与窗口大小的换算

在OpenCV函数createGaussianFilter中，若未指定窗口大小，通过(sigma)推算窗口大小方式如下，半径为(sigma)的3或4倍：

若指定了窗口大小，但未指定(sigma)大小，则通过窗口大小推算(sigma)的方式如下：

[sigma = 0.3 imes((ksize - 1) imes0.5 - 1) + 0.8]

具体地，在函数getGaussianKernel中，当ksize不大于7时，直接从内部的(small_gaussian_tab)取对应大小的高斯核，若大于7，则使用上式计算出(sigma)然后套用高斯公式，最后再归一化。

在实际使用时，为了高效，卷积核通常取([0, 255])范围内的整数（1个Byte），因此高斯核中心最大取值为255时，窗口尺寸的选取只需让高斯核边界值刚好大于0即可。令高斯核尺寸为(n)，半径为(r)，(r = frac{n-1}{2})，高斯核(x)轴上边界((r, 0))处与中心((0, 0))处数值之比如下：

[frac{G(r, 0)}{G(0, 0)} = exp(-frac{r^2}{2 imes (0.3(r-1)+0.8)^2})]

当(r)足够大，其极限为(exp(-frac{1}{2 imes0.3^2})=0.00386592)，若中心值为255，则边界值为(255*0.00386592=0.9858096 approx 1)，是合适的。但公式是如何设计出来的还不清楚，这里只是校验了其性质，sigh。

参考

• getGaussianKernel
• Calculate the Gaussian filter‘s sigma using the kernel‘s size
• Gaussian blur
• Gaussian Blur - Standard Deviation, Radius and Kernel Size
• How to determine the window size of a Gaussian filter
• Optimal Gaussian filter radius
• Fast Almost-Gaussian Filtering