[SCOI2008]奖励关

Posted 2021-01-06 wolfycz

Description
你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出k次宝物，每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。宝物一共有n种，系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前k-1次系统都抛出宝物1（这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。 获取第i种宝物将得到Pi分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第i种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi可以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。 假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

Input
第一行为两个正整数k和n，即宝物的数量和种类。以下n行分别描述一种宝物，其中第一个整数代表分值，随后的整数依次代表该宝物的各个前提宝物（各宝物编号为1到n），以0结尾。

Output
输出一个实数，保留六位小数，即在最优策略下平均情况的得分。

Sample Input
1 2
1 0
2 0

Sample Output
1.500000

HINT
【数据规模】
1<=k<=100,1<=n<=15，分值为[-10^6,10^6]内的整数。

设f[i][sta]表示到第i个，已选的宝物种类状态为sta的期望。由于正着枚举可能会导致合法状态从非法状态转移过来，如果倒着枚举则只会由合法状态转移到合法状态。然后为了防止精度误差，求期望的除法我们最后除即可。

/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x7f7f7f7f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())  if (ch=='-')    f=-1;
    for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())    x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
    return x*f;
}
inline void print(int x){
    if (x>=10)  print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int N=1e2,M=15;
double f[N+10][(1<<M)+10];
int G[M+5],v[M+5];
int main(){
    int n=read(),m=read();
    for (int i=1,x;i<=m;i++){
        v[i]=read();
        while (x=read())    G[i]|=1<<(x-1);
    }
    for (int i=n;i;i--){
        for (int sta=0;sta<1<<m;sta++){
            for (int j=1;j<=m;j++)
                f[i][sta]+=(G[j]&sta)==G[j]?max(f[i+1][sta],f[i+1][sta|(1<<(j-1))]+v[j]):f[i+1][sta];
            f[i][sta]/=m;
        }
    }
    printf("%.6lf
",f[1][0]);
    return 0;
}