最大异或子序列问题

Posted 2021-01-05 hailjedi

问题是这样的：

给定一个整数序列，要求出其最大异或子序列

受到最大和子序列的启发，我首先就尝试 DP

然而 WA 掉了。。。

很明显，这个问题没有最优子结构

异或可以抵消，因此最大的可以抵消成最小的，非常不好 :(

然后我尝试贪心

先给数字排序，然后从大到小选取使当前答案变大的加入进去

也 WA 掉了 :(

很显然，每次我们都是取到第 i 位为 1 的最大的数字

这样能保证答案最大吗？并不能

hack：1110， 1000， 0100， 0010， 0001

正解是按位贪心，具体算法如下：

for (int i = 62; i >= 0; i--) {
  for (int j = 1; j <= n; j++) {
    if ((a[j] >> i) & 1) {
      if (((ans >> i) & 1) == 0) {
        ans ^= a[j];
      }
      for (int k = 1; k <= n; k++) {
        if (((a[k] >> i) & 1) && k != j) {
          a[k] ^= a[j];
        }
      }
      a[j] = 0;
      break;
    }
  }
}

初看似乎也是在找第 i 位为 1 的数并入进去

不同之处在于对其它第 i 位为 1 的数的处理：把它们都异或上当前选的数

感性认识一下，这种做法符合最优化的性质：取舍与最大化

事实上可以联想成一种特殊的 DP：

为了使当前结果更大，我需要做一些取舍，并且保证能取到更优解

这与 DP 的思想不谋而合

DP 方程中时常蕴含着对子问题的取舍关系，而这里对异或和的处理也隐藏了取舍

因此这种做法从 DP 的角度考虑是正确的