[Usaco2018 Open]Talent Show

Posted 2021-01-05 wolfycz

Description
FarmerJohn要带着他的N头奶牛，方便起见编号为1…N，到农业展览会上去，参加每年的达牛秀！他的第i头奶牛重量为wi，才艺水平为ti，两者都是整数。在到达时，FarmerJohn就被今年达牛秀的新规则吓到了：（一）参加比赛的一组奶牛必须总重量至少为W（这是为了确保是强大的队伍在比赛，而不仅是强大的某头奶牛），并且（二）总才艺值与总重量的比值最大的一组获得胜利。FJ注意到他的所有奶牛的总重量不小于W，所以他能够派出符合规则（一）的队伍。帮助他确定这样的队伍中能够达到的最佳的才艺与重量的比值。

Input
输入的第一行包含N和W。下面N行，每行用两个整数wi和ti描述了一头奶牛。
1≤N≤250
1≤W≤1000
1≤wi≤10^6
1≤ti≤10^3

Output
请求出Farmer用一组总重量最少为W的奶牛最大可能达到的总才艺值与总重量的比值。
如果你的答案是A，输出1000A向下取整的值，以使得输出是整数（当问题中的数不是一个整数的时候，向下取整操作在向下舍入到整数的时候去除所有小数部分）。

Sample Input
3 15
20 21
10 11
30 31

Sample Output
1066

HINT
在这个例子中，总体来看最佳的才艺与重量的比值应该是仅用一头才艺值为11、重量为10的奶牛，但是由于我们需要至少15单位的重量，最优解最终为使用这头奶牛加上才艺值为21、重量为20的奶牛。这样的话才艺与重量的比值为(11+21)/(10+20)=32/30=1.0666666...，乘以1000向下取整之后得到1066。

首先想到dp，设f[i]代表才艺值和为i的奶牛重量，让f[i]越小越好。这样显然是错的，不过bzoj和洛谷就这么过掉了。。。（数据真水）

放上错误dp代码

/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x7f7f7f7f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    for (;ch<‘0‘||ch>‘9‘;ch=getchar())    if (ch==‘-‘)    f=-1;
    for (;ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘;ch=getchar())  x=(x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘;
    return x*f;
}
inline void print(int x){
    if (x>=10)   print(x/10);
    putchar(x%10+‘0‘);
}
const int N=2.5e2,M=1e3;
int f[N*M+10];
int main(){
    int n=read(),W=read();
    memset(f,127,sizeof(f));
    f[0]=0;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        int x=read(),y=read();
        for (int j=N*M;j>=y;j--)
            f[j]=min(f[j],f[j-y]+x);
    }
    int Ans=0;
    for (int i=1;i<=N*M;i++) if (f[i]>=W)    Ans=max(Ans,i*1000/f[i]);
    printf("%d
",Ans);
    return 0;
}

后面想了想随手造了个数据把自己hack了。。。
3 10
7 10
2 10
9 10
stdout:1818
myout:1666

那怎么改呢？首先我们知道这题要求$dfrac{sum t[i]}{sum w[i]}$最大，我们转化一下得到$sum(t[i]-w[i] imes x)$，然后x这玩意是可以二分的，直接01背包判可行性即可

/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x7f7f7f7f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    for (;ch<‘0‘||ch>‘9‘;ch=getchar())  if (ch==‘-‘)    f=-1;
    for (;ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘;ch=getchar())    x=(x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘;
    return x*f;
}
inline void print(int x){
    if (x>=10)  print(x/10);
    putchar(x%10+‘0‘);
}
const int N=2.5e2,M=1e3;
int f[N*M+10],w[N+10],v[N+10],n,W;
bool check(int limit){
    memset(f,128,sizeof(f));
    f[0]=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=W;~j;j--)
            if (f[j]!=-inf)
                f[min(W,j+w[i])]=max(1ll*f[min(W,j+w[i])],f[j]+v[i]-1ll*w[i]*limit);
    return f[W]>=0;
}
int main(){
    n=read(),W=read();
    int l=1,r=0,Ans=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)  w[i]=read(),r+=v[i]=read()*1000;
    while (l<=r){
        int mid=(l+r)>>1;
        if (check(mid)) Ans=mid,l=mid+1;
        else    r=mid-1;
    }
    printf("%d
",Ans);
    return 0;
}