[转]红黑树讲解

Posted 2021-01-04 atai

【前言：本文所讨论的红黑树之目的在于使读者能更简单清晰地了解红黑树的构造，使读者能在纸上清晰快速地画出红黑树，而不是为了写出红黑树的实现代码。

若是要在代码级理解红黑树，则势必需要记住其复杂的插入和旋转的各种情况，我认为那只有助于增加大家对红黑树的恐惧，实际面试和工作中几乎不会遇到需要自己动手实现红黑树的情况(很多语言的标准库中就有红黑树的实现)。】

（理解红黑树一句话就够了：红黑树就是用红链接表示3-结点的2-3树。那么红黑树的插入、构造就可转化为2-3树的问题，即：在脑中用2-3树来操作，得到结果，再把结果中的3-结点转化为红链接即可。而2-3树的插入，前面已有详细图文，实际也很简单：有空则插，没空硬插，再分裂。  这样，我们就不用记那么复杂且让人头疼的红黑树插入旋转的各种情况了。只要清楚2-3树的插入方式即可。  下面图文详细演示。）

红黑树的本质：

红黑树是对2-3查找树的改进，它能用一种统一的方式完成所有变换。

替换3-结点

★红黑树背后的思想是用标准的二叉查找树（完全由2-结点构成）和一些额外的信息（替换3-结点）来表示2-3树。

我们将树中的链接分为两种类型：红链接将两个2-结点连接起来构成一个3-结点，黑链接则是2-3树中的普通链接。确切地说，我们将3-结点表示为由一条左斜的红色链接相连的两个2-结点。

这种表示法的一个优点是，我们无需修改就可以直接使用标准二叉查找树的get()方法。对于任意的2-3树，只要对结点进行转换，我们都可以立即派生出一颗对应的二叉查找树。我们将用这种方式表示2-3树的二叉查找树称为红黑树。

红黑树的另一种定义是满足下列条件的二叉查找树：

⑴红链接均为左链接。

⑵没有任何一个结点同时和两条红链接相连。

⑶该树是完美黑色平衡的，即任意空链接到根结点的路径上的黑链接数量相同。

如果我们将一颗红黑树中的红链接画平，那么所有的空链接到根结点的距离都将是相同的。如果我们将由红链接相连的结点合并，得到的就是一颗2-3树。

相反，如果将一颗2-3树中的3-结点画作由红色左链接相连的两个2-结点，那么不会存在能够和两条红链接相连的结点，且树必然是完美平衡的。

 

 

无论我们用何种方式去定义它们，红黑树都既是二叉查找树，也是2-3树。

（2-3树的深度很小，平衡性好，效率高，但是其有两种不同的结点，实际代码实现比较复杂。而红黑树用红链接表示2-3树中另类的3-结点，统一了树中的结点类型，使代码实现简单化，又不破坏其高效性。）

颜色表示：

因为每个结点都只会有一条指向自己的链接（从它的父结点指向它），我们将链接的颜色保存在表示结点的Node数据类型的布尔变量color中（若指向它的链接是红色的，那么该变量为true，黑色则为false）。

当我们提到一个结点颜色时，我们指的是指向该结点的链接的颜色。

旋转

在我们实现的某些操作中可能会出现红色右链接或者两条连续的红链接，但在操作完成前这些情况都会被小心地旋转并修复。

（我们在这里不讨论旋转的几种情况，把红黑树看做2-3树，自然可以得到正确的旋转后结果）

插入

在插入时我们可以使用旋转操作帮助我们保证2-3树和红黑树之间的一一对应关系，因为旋转操作可以保持红黑树的两个重要性质：有序性和完美平衡性。

热身：

向2-结点中插入新键

（向红黑树中插入操作时，想想2-3树的插入操作。红黑树与2-3树在本质上是相同的，只是它们对3结点的表示不同。

向一个只含有一个2-结点的2-3树中插入新键后，2-结点变为3-结点。我们再把这个3-结点转化为红结点即可）

 

向一颗双键树（即一个3-结点）中插入新键

（向红黑树中插入操作时，想想2-3树的插入操作。你把红黑树当做2-3树来处理插入，一切都变得简单了）

（向2-3树中的一个3-结点插入新键，这个3结点临时成为4-结点，然后分裂成3个2结点）

 

 

★一颗红黑树的构造全过程

平衡二叉树（AVL树）

 

 

定义：平衡二叉树(Balance Binary Tree)又称AVL树。它或者是一颗空树，或者是具有下列性质的二叉树：它的左子树和右子树都是平衡二叉树，且左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1。

若将二叉树上结点的平衡因子BF(BalanceFactor)定义为该结点的左子树深度减去它的右子树深度，则平衡因子的绝对值大于1。

 

其旋转操作 用2-3树的分裂来类比想象。