高斯混合模型

Posted 2021-01-04 always-fight

一、什么是高斯混合模型（GMM）

　高斯混合模型（Gaussian Mixed Model）指的是多个高斯分布函数的线性组合，通常用于解决同一集合下的数据包含多个不同的分布的情况，如利用GMM来解决分类情况，

　如下图，在我们看来明显分成两个聚类。这两个聚类中的点分别通过两个不同的正态分布随机生成而来。但是如果没有GMM，那么只能用一个的二维高斯分布来描述图中的数据。这显然不太合理，毕竟肉眼一看就觉得应该把它们分成两类

 

　这时可以使用两个二维高斯分布来描述图中的数据，将两个二维高斯分布(N(mu_1,sum_1),N(mu_2,sum_2))做线性组合，用线性组合后的分布来描述整个集合中的数据。这就是高斯混合模型（GMM）

 二、GMM原理

　设有随机变量(X)，则混合高斯模型可以这样表示： 

(p(x) = sum_{k=1}^{K}pi_kN(x|mu_k,sum_k))

　其中(N(x|mu_k,sum_k))称为混合模型中的第k个分量（component）。如前面图中的例子，有两个聚类，可以用两个二维高斯分布来表示，那么分量数K=2，(pi_k)是混合系数（mixture coefficient），且满足：

( sum_{k=1}^{K}pi_k,0leqpi_kleq 1 )，其中(pi_k)相当于每个高斯分布的权重

 

　GMM用于聚类时，假设数据服从混合高斯分布（Mixture Gaussian Distribution），例如上图的例子，很明显有两个聚类，可以定义K=2，那么对应的GMM形式如下：

( p(x) = pi_1N(x|mu_1,sum_1) + pi_2N(x|mu_2,sum_2) )

 

　上式中未知参数有六个：((pi_1,mu_1,sum_1, pi_2,mu_2,sum_2))，GMM聚类时分为两步，第一步是随机地在这K个分量中选一个，每个分量被选中的概率即为混合系数(pi_k)，可以设定(pi_1=pi_2=0.5)，表示每个分量被选中的概率是0.5，即从中抽出一个点，这个点属于第一类的概率和第二类的概率各占一半。但实际应用中事先指定(pi_k)的值是很笨的做法，当问题一般化后，会出现一个问题：当从图中的集合随机选取一个点，怎么知道这个点是来自(N(x|mu_1,sum_1))还是(N(x|mu_2,sum_2))呢？

　换言之怎么根据数据自动确定(pi_1,pi_2)的值？这就是GMM参数估计的问题。要解决这个问题，可以使用EM算法。通过EM算法，我们可以迭代计算出GMM中的参数：(pi_k,mu_k,sum_k)

 

　我们的想法是，找到这样一组参数，它所确定的概率分布生成这些给定的数据点的概率最大，而这个概率实际上就等于：(prod_{i=1}^{N}p(x_i))，我们把这个乘积称作似然函数 (Likelihood Function)。通常单个点的概率都很小，许多很小的数字相乘起来在计算机里很容易造成浮点数下溢，因此我们通常会对其取对数，把乘积变成加和：(sum_{i=1}^{N}logp(x_i))，得到 log-likelihood function 。接下来我们只要将这个函数最大化（通常的做法是求导并令导数等于零，然后解方程），亦即找到这样一组参数值，它让似然函数取得最大值，我们就认为这是最合适的参数，这样就完成了参数估计的过程。下面让我们来看一看 GMM 的 log-likelihood function ：

(sum_{i=1}^{N}log{sum_{i=1}^{K}pi_kN(x_i|mu_k,sum_k)})

 

　由于上式太复杂，没法直接用求导求得最大值。为了解决这个问题，我们采取之前从 GMM 中随机选点的办法：分成两步

 

　　1.估计每个数据由每个 Component 生成的概率（并不是每个 Component 被选中的概率）：对于每个数据(x_i)来说，它由第(k)个 Component 生成的概率为：

　　　由于式子里的(mu_k,sum_k)也是需要我们估计的值，我们采用迭代法，在计算(gamma(i,k))的时候我们假定(mu_k,sum_k)均已知，我们将取上一次迭代所得的值（或者初始值）

 

　　2.估计每个Component 的参数：现在我们假设上一步中得到的(gamma(i,k))就是正确的"数据(x_i)由Component (k)生成的概率"，亦可以当做该Component 在生成这个数据上所做的贡献，或者说，我们可以看作(x_i)这个数据其中有(gamma(i,k)x_i)这部分是由Component (k)所生成的，集中考虑所有的数据点，现在实际上可以看作Component 生成了( gamma(1,k)x_1,...,gamma(N,k)x_N )这些点，由于每个 Component 都是一个标准的 Gaussian 分布，可以很容易求出最大似然所对应的参数值： 

　　　其中(N_k = sum_{i=1}^{N}gamma(i,k))，并且(pi_k)也顺理成章地可以估计(N_k/N)

 

　　3.重复迭代前面两步，直到似然函数的值收敛为止

 

三、代码实例

　参考：https://blog.csdn.net/u014157632/article/details/65442165

‘‘‘
此示例程序随机从4个高斯模型中生成500个2维数据，真实参数：
混合项w=[0.1，0.2，0.3，0.4]
均值u=[[5，35]，[30，40]，[20，20]，[45，15]]
协方差矩阵∑=[[30，0]，[0，30]]
然后以这些数据作为观测数据，根据EM算法来估计以上参数
此程序未估计协方差矩阵

‘‘‘

import math
import copy
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D


iter_num = 1000
N = 500
k = 4
probility = np.zeros(N)

u1 = [5, 35]
u2 = [30, 40]
u3 = [20, 20]
u4 = [45, 15]

sigma = np.matrix([[30, 0], [0,30]])
alpha = [0.1, 0.2, 0.3, 0.4]

#生成随机数据，4个高斯模型
def generate_data(sigma, N, mu1, mu2, mu3, mu4, alpha):
          global X#可观测数据集
          X = np.zeros((N, 2))#X：2维数据，N个样本
          X = np.matrix(X)

          global mu#随机初始化mu1，mu2，mu3，mu4
          mu = np.random.random((4, 2))
          mu = np.matrix(mu)

          global excep#期望：第i个样本属于第j个模型的概率的期望
          excep = np.zeros((N, 4))

          global alpha_#初始化混合项系数
          alpha_ = [0.25, 0.25, 0.25, 0.25]

          #np.random.multivariate_normal()：用于根据实际情况生成一个多元正态分布矩阵
          for i in range(N):
                    if np.random.random(1) < 0.1:
                              X[i, :] = np.random.multivariate_normal(mu1, sigma, 1)
                    elif 0.1 <= np.random.random(1) < 0.3:
                              X[i, :] = np.random.multivariate_normal(mu2, sigma, 1)
                    elif 0.3 <= np.random.random(1) < 0.6:
                              X[i, :] = np.random.multivariate_normal(mu3, sigma, 1)
                    else:
                              X[i, :] = np.random.multivariate_normal(mu4, sigma, 1)
          print(‘可观测数据：
‘, X)
          print(‘初始化的mu1, mu2, mu3, mu4：‘, mu)

def e_step(sigma, k, N):
          global X
          global mu
          global excep
          global alpha_

          for i in range(N):
                    denom = 0
                    for j in range(0, k):
                              denom += alpha_[j] * math.exp(-0.5 * (X[i,:]-mu[j,:])*sigma.I*np.transpose(X[i,:]-mu[j,:]))/np.sqrt(np.linalg.det(sigma))#分母

                    for j in range(0, k):
                              numer = math.exp(-0.5 * (X[i,:]-mu[j,:])*sigma.I*np.transpose(X[i,:]-mu[j,:]))/np.sqrt(np.linalg.det(sigma))#分子
                              excep[i, j] = alpha_[j] * numer / denom#求期望

          print(‘隐藏变量：
‘, excep)
                    
def m_step(k, N):
          global excep
          global X
          global alpha_

          for j in range(0, k):
                    denom = 0#分母
                    numer = 0#分子
                    for i in range(N):
                              numer += excep[i, j] * X[i, :]
                              denom += excep[i, j]

                    mu[j, :] = numer / denom #求均值
                    alpha_[j] = denom / N#求混合项系数

generate_data(sigma, N, u1, u2, u3, u4, alpha)

#迭代计算
for i in range(iter_num):
          err = 0#均值误差
          err_alpha = 0#混合系数误差

          Old_mu = copy.deepcopy(mu)
          Old_alpha = copy.deepcopy(alpha_)

          e_step(sigma, k, N)#E 步
          m_step(k, N)#M 步

          print("迭代次数:", i+1)
          print("估计的均值:", mu)
          print("估计的混合项系数:", alpha_)
          for z in range(k):
                    err += (abs(Old_mu[z, 0] - mu[z, 0]) + abs(Old_mu[z, 1] - mu[z, 1]))#计算误差
                    err_alpha += abs(Old_alpha[z] - alpha_[z])

          if (err <= 0.001) and (err_alpha < 0.001):#达到精度退出迭代
                    print(err, err_alpha)
                    break
          
#可视化结果，画生成的原始数据
plt.subplot(221)
plt.scatter(X[:,0].tolist(), X[:,1].tolist(),c=‘b‘, s=25, alpha=0.4, marker=‘o‘)
plt.title(‘random generated data‘)

#画分类好的数据
plt.subplot(222)
plt.title(‘classified data through EM‘)
order = np.zeros(N)
color = [‘b‘, ‘r‘, ‘k‘, ‘y‘]
for i in range(N):
          for j in range(k):
                    if excep[i, j] == max(excep[i, :]):
                              order[i] = j#选出X[i, :]属于第几个高斯模型
                    probility[i] += alpha_[int(order[i])] * math.exp(-0.5 * (X[i,:]-mu[j,:])*sigma.I*np.transpose(X[i,:]-mu[j,:]))/(np.sqrt(np.linalg.det(sigma))*2*np.pi)#计算混合高斯分布

          plt.scatter(X[i, 0], X[i, 1], c=color[int(order[i])], s=25, alpha=0.4, marker=‘o‘)#绘制分类后的散点图

#绘制三维图像
ax = plt.subplot(223, projection=‘3d‘)
plt.title(‘3d view‘)
for i in range(N):
          ax.scatter(X[i,0], X[i, 1], probility[i], c=color[int(order[i])])
plt.show()