P1962 斐波那契数列

Posted 2021-01-03 lltyyc

传送门

斐波那契数列

看一眼果断递推

f[ i ] = f[ i-1 ] + f[ i-2 ] 嘛

数据一看..

好像不行....

那就矩阵优化一下嘛

最基础的矩阵乘法嘛 （不懂先学一下 矩阵乘法 吧）

稍微想一想：

设矩阵为 A

那么矩阵 [  f[i-2]   ,   f[i-1]  ] * A 要等于 [  f[i-1]   ,   f[i]  ]（即要等于 [ f[i-1]   ,   f[i-1]+f[i-2]  ]）

在纸上稍微画一下就得到 A 了 （随便挂一下当初学构造矩阵的链接： 传送门）

A = [ 0，1 ]

　   [ 1，1 ]

然后就可以把 初始矩阵乘上 n 个 A

显然初始矩阵为[ 1，1 ]（设为B）

那么答案就是B*A*...*A（一共n个A）

因为矩阵乘法满足结合律

所以变一下就是B*(A^n)

然后就可以用快速幂来求A^n啦

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mo=1000000007;
ll x;
struct matrix
{
    ll a[3][3];
    matrix(){ memset(a,0,sizeof(a)); }
    matrix operator * (matrix &tmp){
        matrix c;
        for(int i=1;i<=2;i++)
            for(int j=1;j<=2;j++)
                for(int k=1;k<=2;k++)
                    c.a[i][j]=(c.a[i][j]+(a[i][k]*tmp.a[k][j])%mo)%mo;
        return c;
    }//重载一下乘号
}Ans,y;
int main()
{
    Ans.a[1][1]=Ans.a[1][2]=1;
    y.a[1][2]=y.a[2][1]=y.a[2][2]=1;
    cin>>x; x--;
    while(x)
    {
        if(x&1) Ans=Ans*y;
        y=y*y;
        x>>=1;
    }//重载了乘号就可以直接快速幂了
    cout<<Ans.a[1][1];//矩阵的第一项就是答案
    return 0;
}