51Nod1626 B君的梦境 状压dp 矩阵

Posted 2021-01-03 zhouzhendong

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题意

 

题解

　　首先考虑形象的想象本题中的思维空间。我们把整个 2*2*3*n 的四维空间看作 n 个 2*2*3 的三维空间顺次排列。考虑到 1*1*1*2 的方块，我们如果把边长 2 放在第 4 维上，相当于是填充了连续两个三维空间的对应位置。否则，边长 1 就放在了第 4 维上，相当于在一个三维空间中填充 1*1*2 的方块。

　　然后我们考虑状压 DP 。状态压缩当前三维空间的被填充状态。显然有 $2^{2 imes 2 imes 3}=4096$ 种情况。然后，我们考虑通过旋转、对称删除一些重复的状态，通过黑白染色删除一些没用的状态，最后剩下的状态数很少了。然后矩阵快速幂即可。

　　如果要更加具体地了解如何删除状态，参见代码或者原题的题解。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define Hash(a,b,c) Ha[a][b][c]
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=105,mod=1e9+7;
LL n;
int t=0,a[N],Min[1<<12],ID[1<<12],Ha[5][5][5];
struct Mat{
	int v[N][N];
	Mat(){}
	Mat(int x){
		memset(v,0,sizeof v);
		for (int i=1;i<=t;i++)
			v[i][i]=x;
	}
}M(0);
Mat operator * (Mat A,Mat B){
	Mat C(0);
	for (int i=1;i<=t;i++)
		for (int j=1;j<=t;j++)
			for (int k=1;k<=t;k++)
				C.v[i][j]=(1LL*A.v[i][k]*B.v[k][j]+C.v[i][j])%mod;
	return C;
}
Mat Pow(Mat x,LL y){
	Mat ans(1);
	for (;y;y>>=1,x=x*x)
		if (y&1LL)
			ans=ans*x;
	return ans;
}
void SwapD(int &v,int i,int j){
	if (((v>>i)^(v>>j))&1)
		v^=(1<<i)^(1<<j);
}
int checkWB(int s){
	int ans=0;
	for (int i=1;i<=2;i++)
		for (int j=1;j<=2;j++)
			for (int k=1;k<=3;k++)
				if (s>>Hash(i,j,k)&1)
					if ((i+j+k)&1)
						ans++;
					else
						ans--;
	return ans==0;
}
int calc(int s){
	int res=s;
	for (int t=0;t<4;t++){
		int v=s;
		if (t&1)
			for (int j=1;j<=2;j++)
				for (int k=1;k<=3;k++)
					SwapD(v,Hash(1,j,k),Hash(2,j,k));
		if (t>>1)
			for (int i=1;i<=2;i++)
				for (int j=1;j<=2;j++)
					SwapD(v,Hash(i,j,1),Hash(i,j,3));
		for (int d=0;d<4;d++,res=min(res,v))
			for (int i=1;i<=3;i++){
				SwapD(v,Hash(1,1,i),Hash(1,2,i));
				SwapD(v,Hash(1,2,i),Hash(2,2,i));
				SwapD(v,Hash(2,2,i),Hash(2,1,i));
			}
	}
	return res;
}
int dx[6]={ 0, 0, 0, 0, 1,-1},_x[6];
int dy[6]={ 0, 0, 1,-1, 0, 0},_y[6];
int dz[6]={ 1,-1, 0, 0, 0, 0},_z[6];
void GetXYZ(){
	int cnt=0;
	for (int i=1;i<=2;i++)
		for (int j=1;j<=2;j++)
			for (int k=1;k<=3;k++)
				if ((i+j+k)&1)
					cnt++,_x[cnt]=i,_y[cnt]=j,_z[cnt]=k;
}
void GetM(int S,int v,int t){
	if (t>6){
		M.v[S][ID[Min[v]]]++;
		return;
	}
	GetM(S,v,t+1);
	int x=_x[t],y=_y[t],z=_z[t],xx,yy,zz;
	if (v>>Hash(x,y,z)&1)
		return;
	for (int i=0;i<6;i++){
		xx=x+dx[i],yy=y+dy[i],zz=z+dz[i];
		if ((1<=xx&&xx<=2&&1<=yy&&yy<=2&&1<=zz&&zz<=3)&&(~v>>Hash(xx,yy,zz)&1))
			GetM(S,v^(1<<Hash(x,y,z))^(1<<Hash(xx,yy,zz)),t+1);
	}
}
int main(){
	int sz=1<<12;
	for (int i=1;i<=2;i++)
		for (int j=1;j<=2;j++)
			for (int k=1;k<=3;k++)
				Ha[i][j][k]=(i-1)*6+(j-1)*3+k-1;
	for (int i=0;i<sz;i++)
		if (checkWB(i))
			if ((Min[i]=calc(i))==i)
				a[++t]=i,ID[i]=t;
	GetXYZ();
	for (int i=1;i<=t;i++)
		GetM(i,a[i]^(sz-1),1);
	scanf("%lld",&n);
	M=Pow(M,n);
	printf("%d",M.v[ID[Min[sz-1]]][ID[Min[sz-1]]]);
	return 0;
}