luogu1081 开车旅行 树上倍增

Posted 2021-01-02 headboy2002

题目大意

　　小A和小B决定利用假期外出旅行，他们将想去的城市从1到N编号，且编号较小的城市在编号较大的城市的西边，已知各个城市的海拔高度互不相同，记城市i 的海拔高度为Hi，城市i 和城市j 之间的距离d[i,j]恰好是这两个城市海拔高度之差的绝对值，即d[i,j] = |Hi – Hj|。
　　旅行过程中，小A和小B轮流开车，第一天小A开车，之后每天轮换一次。他们计划选择一个城市S作为起点，一直向东行驶，并且最多行驶X公里就结束旅行。小A和小B的驾驶风格不同，小B总是沿着前进方向选择一个最近的城市作为目的地，而小A总是沿着前进方向选择第二近的城市作为目的地（注意：本题中如果当前城市到两个城市的距离相同，则认为离海拔低的那个城市更近）。如果其中任何一人无法按照自己的原则选择目的城市，或者到达目的地会使行驶的总距离超出X公里，他们就会结束旅行。
　　在启程之前，小A想知道两个问题：
　　1．对于一个给定的X=X0，从哪一个城市出发，小A开车行驶的路程总数与小B行驶的路程总数的比值最小（如果小B的行驶路程为0，此时的比值可视为无穷大，且两个无穷大视为相等）。如果从多个城市出发，小A开车行驶的路程总数与小B行驶的路程总数的比值都最小，则输出海拔最高的那个城市。
　　2. 对任意给定的X=Xi 和出发城市Si，小A开车行驶的路程总数以及小B行驶的路程总数。

题解

如何处理对小A小B一个城市的下一个城市

　　法一：二叉平衡树，key值城市高度。从右往左扫描，见一个城市就往里塞，然后从节点的前驱、后继以及前驱的前驱、后继的后继中选取最小值和次小值。这个可以用set的iterator来实现。

　　法二：双向链表。将所有城市排序接成链表，从左往右扫描，在cur->Prev->Prev, cur->Prev, cur->Next, cur->Next->Next中选取最小值和次小值，然后将其删除。

如何求解

　　树上倍增。将所有城市复制一份，一份表示A开车，一份表示B开车，根据A,B城市之间的转移在两个集合之间连边，出度为0的节点向根节点连边。边权有3个：A行驶距离，B行驶距离（在连接A, B集合的边中，此两个量必然有一个为0），总行驶距离。对这三个权值进行倍增统计，随后各个事情就简单了。

注意事项

　　对于这种题意复杂的题，最好把限制条件写在纸上，不然记着记着就记错了，浪费大把时间。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;

const int MAX_CITY = 100010, SuperINF = 2147483647;

struct City
{
    int Height, Id;

    bool operator < (const City& a) const
    {
        return Height < a.Height;
    }
}_cities[MAX_CITY];
int TotCity;

struct Graph
{
private:
    static const int MAX_NODE = MAX_CITY * 2 + 50;

    struct Node
    {
        unsigned int Sum[3][20];
        Node *Elder[20];
        vector<Node*> Next;
        int Depth;
    }_nodes[MAX_NODE], *Root;
    int TotNode;

    void Dfs(Node *cur, Node *fa, int depth)
    {
        cur->Depth = depth;
        if (cur != Root)
        {
            for (int i = 1; cur->Elder[i - 1]->Elder[i - 1]; i++)
            {
                cur->Elder[i] = cur->Elder[i - 1]->Elder[i - 1];
                for (int j = 0; j < 3; j++)
                    cur->Sum[j][i] = cur->Sum[j][i - 1] + cur->Elder[i - 1]->Sum[j][i - 1];
            }
        }
        for (int i = 0; i < cur->Next.size(); i++)
            if (cur->Next[i] != fa)
                Dfs(cur->Next[i], cur, depth + 1);
    }

    int Log2(int x)
    {
        int ans = 0;
        while (x >>= 1)
            ans++;
        return ans;
    }

    void Query(Node *cur, int dist, int *ans)
    {
        for (int i = 0; i < 3; i++)
            ans[i] = 0;
        int topFa = Log2(cur->Depth);
        for (int i = topFa; i >= 0; i--)
        {
            if (cur->Elder[i] && cur->Sum[2][i] <= dist)
            {
                for (int j = 0; j < 3; j++)
                    ans[j] += cur->Sum[j][i];
                dist -= cur->Sum[2][i];
                cur = cur->Elder[i];
            }
        }
    }

public:
    void Init(int totNode, int root)
    {
        TotNode = totNode;
        Root = _nodes + root;
    }

    void Build(int u, int v, int w, bool isA)
    {
        Node *cur = _nodes + u, *fa = _nodes + v;
        cur->Elder[0] = fa;
        fa->Next.push_back(cur);
        if (isA)
            cur->Sum[0][0] = cur->Sum[2][0] = w;
        else
            cur->Sum[1][0] = cur->Sum[2][0] = w;
    }

    void GetSum()
    {
        Dfs(Root, NULL, 0);
    }

    void Query(int start, int dist, int *ans)
    {
        return Query(_nodes + start, dist, ans);
    }
}g;

int GetLDelta(set<City>& tree, set<City>::iterator cur)
{
    if (cur == tree.begin())
        return SuperINF;
    set<City>::iterator l = cur;
    l--;
    return abs(cur->Height - l->Height);
}

int GetRDelta(set<City>& tree, set<City>::iterator cur)
{
    set<City>::iterator r = cur;
    r++;
    if (r == tree.end())
        return SuperINF;
    return abs(cur->Height - r->Height);
}

void BuildGraph()
{
    g.Init(TotCity * 2 + 1, TotCity * 2 + 1);
    static set<City> tree;
    for (int i = TotCity; i >= 1; i--)
    {
        tree.insert(_cities[i]);
        set<City>::iterator cur = tree.find(_cities[i]);
        unsigned int lDelta = GetLDelta(tree, cur);
        unsigned int rDelta = GetRDelta(tree, cur);
        if (lDelta < SuperINF || rDelta < SuperINF)
        {
            if (lDelta <= rDelta)
            {
                set<City>::iterator l = cur;
                l--;
                g.Build(cur->Id + TotCity, l->Id, lDelta, false);
                unsigned int llDelta = GetLDelta(tree, l) + lDelta;
                if (llDelta < SuperINF || rDelta < SuperINF)
                {
                    if (llDelta <= rDelta)
                    {
                        l--;
                        g.Build(cur->Id, l->Id + TotCity, llDelta, true);
                    }
                    else
                    {
                        set<City>::iterator r = cur;
                        r++;
                        g.Build(cur->Id, r->Id + TotCity, rDelta, true);
                    }
                }
                else
                    g.Build(cur->Id, TotCity * 2 + 1, SuperINF, true);
            }
            else
            {
                set<City>::iterator r = cur;
                r++;
                g.Build(cur->Id + TotCity, r->Id, rDelta, false);
                unsigned int rrDelta = GetRDelta(tree, r) + rDelta;
                if (lDelta < SuperINF || rrDelta < SuperINF)
                {
                    if (lDelta <= rrDelta)
                    {
                        set<City>::iterator l = cur;
                        l--;
                        g.Build(cur->Id, l->Id + TotCity, lDelta, true);
                    }
                    else
                    {
                        r++;
                        g.Build(cur->Id, r->Id + TotCity, rrDelta, true);
                    }
                }
                else
                    g.Build(cur->Id, TotCity * 2 + 1, SuperINF, true);
            }
        }
        else
        {
            g.Build(cur->Id + TotCity, TotCity * 2 + 1, SuperINF, true);
            g.Build(cur->Id, TotCity * 2 + 1, SuperINF, false);
        }
    }
    g.GetSum();
}

void Read()
{
    scanf("%d", &TotCity);
    for (int i = 1; i <= TotCity; i++)
    {
        scanf("%d", &_cities[i].Height);
        _cities[i].Id = i;
    }
}

void Sol1()
{
    int dist0, ansStart = 0;
    double ansRatio = SuperINF;
    scanf("%d", &dist0);
    int ans[3];
    for (int i = 1; i <= TotCity; i++)
    {
        g.Query(i, dist0, ans);
        double curRatio = (ans[1] == 0 ? SuperINF : 1.0 * ans[0] / ans[1]);
        if (curRatio < ansRatio || (abs(curRatio - ansRatio) < 0.0000001 && _cities[i].Height > _cities[ansStart].Height))
        {
            ansRatio = curRatio;
            ansStart = i;
        }
    }
    printf("%d
", ansStart);
}

void Sol2()
{
    int qCnt;
    int ans[3];
    scanf("%d", &qCnt);
    while (qCnt--)
    {
        int start, dist;
        scanf("%d%d", &start, &dist);
        g.Query(start, dist, ans);
        printf("%d %d
", ans[0], ans[1]);
    }
}

int main()
{
    Read();
    BuildGraph();
    Sol1();
    Sol2();
    return 0;
}