差分约束系统相关证明（存在负环则无解证明）

Posted 2021-01-01 caiyishuai

先引用网上的关于差分约束的解释：

一、引例

1、一类不等式组的解

给定n个变量和m个不等式，每个不等式形如 x[i] – x[j] <= a[k] (0 <= i, j < n, 0 <= k < m， a[k]已知)，求 x[n-1] – x[0] 的最大值。例如当n = 4，m = 5，不等式组如图一-1-1所示的情况，求x3 – x0的最大值。

图一-1-1

观察x3 – x0的性质，我们如果可以通过不等式的两两加和得到c个形如 x3 – x0 <= Ti 的不等式，那么 min{ Ti | 0 <= i < c } 就是我们要求的x3 – x0的最大值。于是开始人肉，费尽千辛万苦，终于整理出以下三个不等式：

1. (3) x3 – x0 <= 8

2. (2) + (5) x3 – x0 <= 9

3. (1) + (4) + (5) x3 – x0 <= 7

这里的T等于{8， 9， 7}，所以min{ T } = 7，答案就是7。的确是7吗？我们再仔细看看，发现的确没有其它情况了。那么问题就是这种方法即使做出来了还是带有问号的，不能确定正确与否，如何系统地解决这类问题呢？

让我们来看另一个问题，这个问题描述相对简单，给定四个小岛以及小岛之间的有向距离，问从第0个岛到第3个岛的最短距离。如图一-1-2所示，箭头指向的线段代表两个小岛之间的有向边，蓝色数字代表距离权值。

图一-1-2

这个问题就是经典的最短路问题。由于这个图比较简单，我们可以枚举所有的路线，发现总共三条路线，如下：

1. 0 -> 3 长度为8

2. 0 -> 2 -> 3 长度为7+2 = 9

3. 0 -> 1 -> 2 -> 3 长度为2 + 3 + 2 = 7

最短路为三条线路中的长度的最小值即7，所以最短路的长度就是7。这和上面的不等式有什么关系呢？还是先来看看最短路求解的原理，看懂原理自然就能想到两者的联系了。

 

若有负环，则不等式组解不存在：

若存在负环,则已知a+b+c<0。

又已知：

B-A<=c……1

C-B<=a……2

A-C<=b……3

假设存在解A,B,C

2+3得：A-B<=a+b

和1联立得：-c<=A-B<=a+b

又因为：a+b<-c

所以：a+b<a+b，明显不符合，所以解不存在

 

解的存在性

上文提到最短路的时候，会出现负权圈或者根本就不可达的情况，所以在不等式组转化的图上也有可能出现上述情况，先来看负权圈的情况，如图三-3-1，下图为5个变量5个不等式转化后的图，需要求得是X[t] – X[s]的最大值，可以转化成求s到t的最短路，但是路径中出现负权圈，则表示最短路无限小，即不存在最短路，那么在不等式上的表现即X[t] – X[s] <= T中的T无限小，得出的结论就是 X[t] – X[s]的最大值 不存在。

图三-3-1

再来看另一种情况，即从起点s无法到达t的情况，如图三-3-2，表明X[t]和X[s]之间并没有约束关系，这种情况下X[t] – X[s]的最大值是无限大，这就表明了X[t]和X[s]的取值有无限多种。

图三-3-2

在实际问题中这两种情况会让你给出不同的输出。综上所述，差分约束系统的解有三种情况：1、有解；2、无解；3、无限多解；