莫队算法入门

Posted 2021-01-01 cjjsb

Talk about 莫队

莫队算法，是莫涛dalao发明的一个神奇的优化暴力算法，它使用看似很simple的指针移动操作以及分块的思想来将复杂度优化至(O(nsqrt n))

莫队的基本思想也很简单：

1. 离线操作，在后面会提到我们通过排序来降低复杂度
2. 设之前我们以及求出了区间([l,r])的答案，那么我们考虑如何快速转移到([l+1,r],[l-1,r],[l,r-1],[l,r+1])
3. 每一次利用之前的信息跳动指针即可得出答案

不过如果是这样的话，只要出题人把数据造坑一点，让你(l,r)指针一直左右移动，就可以卡到(O(n^2))我还不如写暴力

所以莫队的精髓来了，既然都是询问，那我们是否可以通过适当地改变询问的顺序来让(l,r)跳转的幅度更小一点。

所有我们可以利用分块的思想来优化：对于两个询问，若在其(l)在同块，那么将其(r)作为排序关键字，若(l)不在同块，就将(l)作为关键字排序（这就是双关键字）

这样就可以优化时间复杂度么，我们看一下严格的证明（摘自大米饼的博客）：

首先，枚举(m)个答案，就一个(m)了。设分块大小为(unit)，元素(i)所属的快为(blk_i)

分类讨论：

①(l)的移动：若下一个询问与当前询问的(l)所在的块不同，那么只需要经过最多(2cdot unit)步可以使得(l)成功到达目标.复杂度为：(O(mcdot unit))

②(r)的移动：(r)只有在(blk_l)相同时才会有序（其余时候还是疯狂地乱跳，你知道，一提到乱跳，那么每一次最坏就要跳(n)次！），(blk_l)什么时候相同？在同一块里面(blk_i)相同。对于每一个块，排序执行了第二关键字: (r)。所以这里面的(r)是单调递增的，所以枚举完一个块，(r)最多移动n次。总共有(frac{n}{unit})个块:复杂度为：(O(frac{n^2}{unit}))

总结：(O(ncdot unit+frac{n^2}{unit}))（(n,m)同级，就统一使用(n)）

根据基本不等式得：当(n=sqrt n)时，得到莫队算法的真正复杂度：(O(nsqrt n))

然后除此以外莫队还有一个更加NB的常数优化，即在cmp时写成：

return blk[a.l]<blk[b.l]||(blk[a.l]==blk[b.l]&&(blk[a.l]&1?a.r<b.r:a.r>b.r));

其实也很好理解吧，当左端点同块时判断一下当前快编号的奇偶性，尽量让右端点波动范围较小（类似波浪形）

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经典板子题——区间不同元素个数

板子题参考：SPOJ D-query

大致题意：给定一个数组，每次询问一个区间内有多少不同的元素

很简单的莫队板子题，对于每一次加入新的数时都判断一下这个数之前是否出现过即可，删除时同理。

别忘记离散化，CODE

#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=30005,M=200005;
struct data
{
    int l,r,ans,id;
}q[M];
int a[N],b[N],n,m,size,tot,blk[N],res,L,R,cnt[N];
inline char tc(void)
{
    static char fl[100000],*A=fl,*B=fl;
    return A==B&&(B=(A=fl)+fread(fl,1,100000,stdin),A==B)?EOF:*A++;
}
inline void read(int &x)
{
    x=0; char ch; while (!isdigit(ch=tc()));
    while (x=(x<<3)+(x<<1)+ch-‘0‘,isdigit(ch=tc()));
}
inline void write(int x)
{
    if (x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+‘0‘);
}
inline bool cmp1(data a,data b)
{
    return blk[a.l]<blk[b.l]||(blk[a.l]==blk[b.l]&&(blk[a.l]&1?a.r<b.r:a.r>b.r));
}
inline bool cmp2(data a,data b)
{
    return a.id<b.id;
}
inline int find(int x)
{
    int l=1,r=tot,mid;
    while (l<=r)
    {
        mid=l+r>>1; if (b[mid]==x) return mid;
        if (b[mid]<x) l=mid+1; else r=mid-1;
    }
}
inline void add(int col)
{
    if (++cnt[col]==1) ++res;
}
inline void del(int col)
{
    if (--cnt[col]==0) --res;
}
int main()
{
    //freopen("CODE.in","r",stdin); freopen("CODE.out","w",stdout);
    register int i; read(n); size=sqrt(n);
    for (i=1;i<=n;++i) read(a[i]),b[i]=a[i],blk[i]=(i-1)/size+1;
    sort(b+1,b+n+1); tot=unique(b+1,b+n+1)-b-1;
    for (i=1;i<=n;++i) a[i]=find(a[i]);
    for (read(m),i=1;i<=m;++i) read(q[i].l),read(q[i].r),q[i].id=i;
    sort(q+1,q+m+1,cmp1); L=q[1].l; R=q[1].r;
    for (i=L;i<=R;++i) add(a[i]); q[1].ans=res;
    for (i=2;i<=m;++i)
    {
        while (L>q[i].l) add(a[--L]); while (L<q[i].l) del(a[L++]);
        while (R<q[i].r) add(a[++R]); while (R>q[i].r) del(a[R--]);
        q[i].ans=res;
    }
    for (sort(q+1,q+m+1,cmp2),i=1;i<=m;++i) write(q[i].ans),putchar(‘
‘);
    return 0;
}