Codeforces | CF1029D Concatenated Multiples

Posted 2021-01-01 --bluesky007

$qwq$昨天晚上$Div.3$过了这道题...早上交了$1A$...看在$CF$上$hack$的情况并不乐观而且也没人来交这题的份上...我决定发一篇题解帮$(zhuang)$助$(yi)$大$(bo)$家$(x)$
题目大意:给出$n$个数$a_1,a_2,dots,a_n$和$k$,求对于任意的两个数$a_i,a_j(i eq j)$,使得两数连接起来组成的新数(如$12$与$3456$连接组成$123456$)是$k$的倍数的选定方式共有多少种.
很显然检验所有的组合并不现实,一共有$n imes (n-1)$个新数组成方法(n方乱搞绝对T飞),所以显然需要用一些特$(qi)$殊$(ji)$方$(yin)$法$(qiao)$来搞定这道题.
利用这是一道数论题的性质,显然涉及到整除可以从余数的角度考虑(这还用想吗),考虑到题目上拼接的操作对余数的影响,我们可以对所有的$a_1,a_2,dots,a_n$进行预处理,只需要找到合适的$i,j(i eq j)$使得$a_i imes (lfloor log_{10}a_j floor+1)+a_j=0(mod?k)$即可.
所以只需找出能与$a_i$组成$k$的倍数的$a_j$个数并累加即可,个数由预处理得到.
预处理在本题中显得尤为重要,对于每一个数$a_i$都可以前接$a_j$,由于连接操作对前数的余数影响取决于后数的位数,故我们需要判断$a_i$的位数下对应能与$a_i$余数加和成为$k$的倍数的数的个数,所以预处理的内容就是后接$m(min [1,10])$位数后各余数对应数字的个数(表达能力掉线...感性理解一下)
梳理一下思路:先对所有的$a_1,a_2,dots,a_n$,处理每个数后接$m(min [1,10])$位数后的余数情况(在此选用$map$存储...毕竟余数值域是$[0,10^9-1]$...处理对应$map$中后接$m$位时的余数作为下标的值$+1$即可统计个数),同时考虑到这样做有可能把$a_i$后接$a_i$的情况记入答案,所以在累加后特判一下$a_i$后接$a_i$的情况是否合法,合法时将$ans--$去重.
下面放代码$downarrow downarrow downarrow$...如果实在理解不了的话...我也没什么办法惹(逃)

#include<cstdio>//CF1029D
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<map> 

using namespace std;

map<int,int>mp[11];

const int N=2e5+5;

const long long shi[11]={1,10,100,1000,10000,100000,1000000,10000000,100000000,1000000000,10000000000};

int ws(int u){
    return (int)log10(u)+1;
}

int n,k,a[N],mo[N];

long long ans;

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        mo[i]=a[i]%k;
    } 
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=10;j++){
            mp[j][(int)(((shi[j]%k)*mo[i])%k)]++;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int w=ws(a[i]);
        ans+=mp[w][(k-mo[i])%k];
        if((int)((((shi[w]%k)*mo[i])%k)+mo[i])%k==0){
            ans--;
        }
    }
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}

小小卡了一下常数刚好跑过$qwq$...生死速度就差35$ms$(逃)