向量与矩阵的范数及其在matlab中的用法(norm)

Posted 2021-01-01 qiuhlee

一、常数向量范数

• (L_0) 范数

(Vert x Vert _0overset{def}=向量中非零元素的个数)

其在matlab中的用法：

sum( x(:) ~= 0 )

• (L_1) 范数

(Vert x Vert_1overset{def} = sumlimits_{i=1}^{m} vert x_{i}vert = vert x_{1}vert + cdots +vert x_{m}vert)，即向量元素绝对值之和

其在matlab中的用法：

norm(x, 1)

• (L_2) 范数

(Vert x Vert_2=(vert x_1vert^2+cdots+vert x_mvert^2)^{1/2})，即向量元素绝对值的平方和后开方

其在matlab中的用法：

norm(x, 2)

• (L_{infty}) 范数
• 极大无穷范数

(Vert x Vert_{infty}= max { vert x_1vert, cdots,vert x_mvert })，即所有向量元素绝对值中的最大值

其在matlab中的用法：

norm(x, inf)

• 极小无穷范数

(Vert x Vert_{infty}= min { vert x_1 vert, cdots, vert x_mvert })，即所有向量元素绝对值中的最小值

其在matlab中的用法：

norm(x, -inf)

二、矩阵范数

诱导范数和元素形式范数是矩阵范数的两种主要类型。

1. 诱导范数

• (L_1) 范数（列和范数）

(Vert A Vert_1= underset{1leqslant jleqslant n}{mathop{max }}sumlimits_{i=1}^{m}{ vert a_{ij}vert })，即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值

其在matlab中的用法：

norm(A,1)

• (L_2) 范数

(Vert A Vert_2=sqrt{lambda _{i}})，其中 (lambda_i) 为 (A^{T}A) 的最大特征值。

其在matlab中的用法：

norm(A,2)

• (L_{infty}) 范数（行和范数）

(Vert A Vert_{infty}= underset{1leqslant ileqslant m}{mathop{max }}sumlimits_{j=1}^{n}{vert a_{ij}vert})，即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值

其在matlab中的用法：

norm(A,inf)

2. "元素形式"范数

• (L_{0}) 范数

(Vert A Vert_0overset{def}=矩阵的非零元素的个数)

其在matlab中的用法：

sum(sum(A ~= 0))

• (L_{1}) 范数

(Vert A Vert_1overset{def}=sumlimits_{i=1}^{m}sumlimits_{j=1}^{n}vert a_{ij}vert)，即矩阵中的每个元素绝对值之和

其在matlab中的用法：

sum(sum(abs(A)))

• (L_{F}) 范数

(Vert A Vert_Foverset{def}=(sumlimits_{i=1}^{m}sumlimits_{j=1}^{n}vert a_{ij}vert^2)^{1/2})，即矩阵的各个元素平方之和后开方

其在matlab中的用法：

norm(A,'fro')

• (L_{infty}) 范数

(Vert A Vert_{infty}= underset{i=1,cdots,m; j=1,cdots,n}{mathop{max }}{vert a_{ij}vert })，即矩阵的各个元素绝对值的最大值

其在matlab中的用法：

max(max(abs(A)))

• 核范数

(Vert A Vert_{*}= sumlimits_{i=1}^{n}lambda_i)，(lambda_i) 为 (A) 的奇异值，即所有矩阵奇异值之和

其在matlab中的用法：

sum(svd(A))