2018 Multi-University Training Contest 3

Posted 2020-12-30 gerynohenz

2018 Multi-University Training Contest 2

题解

A - Problem A. Ascending Rating

题目描述：给定一个序列，分别求出所有长度为(m)的区间的(maxrating, count)，对于每个长度为(m)的区间，一开始(maxrating=-1, count=0)，然后从左往右扫，扫到一个大于(maxrating)的值时，(count+1, maxrating=)那个数。

solution
从左往右做，用单调队列维护当前一段单调不上升的序列，当添加一个数进来时，删掉的数的下一个最大值就是新加进来的数，将下一个最大值看成父亲，用并查集维护，那么一个区间的答案就是区间左端点的根的值和到根的距离。每个数只会进队一次，退队一次，因此时间复杂度是(O(n))

时间复杂度:(O(n))

C - Problem C. Dynamic Graph Matching

题目描述：有(n)个点，有(m)次操作，每次操作要么加一条边，要么删一条边，求出每次操作后，对于所有的(k), 恰好(k)条边的匹配（即(2k)个点两个两个匹配）方案数。

solution
记(f[sett])表示(sett)集合的点已匹配的方案数，加一条边((u, v)),就枚举除去(u, v)的集合，更新加上(u, v)的答案，删除类似。

时间复杂度：(O(m2^n));

D - Problem D. Euler Function

题目描述：求出第(k)个欧拉函数是合数的(n).

solution
第一个是(5)，第二个是(7)，考虑(n>7)

令(n=2^dx)，因为欧拉函数是积性函数，所以(varphi(n)=varphi(2^d)varphi(x))
若(x=1)，则(varphi(n)=varphi(2^d)=2^{d-1})合数
若(x eq 1), 则(varphi(x) eq 1), 所以(varphi(n))合数
因此(n>7)的欧拉函数都是合数。

时间复杂度：(O(1))

F - Problem F. Grab The Tree

题目描述：给定一棵树，树上有点权，每次(A)选一个点拿走，然后(B)把(A)选的点的邻点拿走，最后把整棵树拿走，每个人把拿走的点的权值异或起来，谁大谁赢，问在最优策略下，最终的结果。

solution
假设(A)的值是(x)，则(B)的值为整棵树的值的异或和再异或(x)，若整棵树的异或和为(0)，则平手。否则将这棵树分层，会发现对于一种选取的方案，(A, B)选择的点是可以交换的，即交换后也是一种可行的方案，所以(A)必胜。

时间复杂度：(O(n))

G - Problem G. Interstellar Travel

题目描述：把原本的题目等价于：当坐标相同时只保留编号较小的点，求字典序最小的凸壳。

solution
字典序最小的凸壳。

时间复杂度：(O(n))

H - Problem H. Monster Hunter

题目描述：有一棵以(1)为根的有根树，除了根，每个点都有一只怪物，从根出发，遇到怪物时会先扣(A_i)血，再回(B_i)血，然后怪物消失，任何时刻的血量不能低于(0)，问一开始至少要有多少血，才能打完所有怪。

solution
先不考虑打怪时要先打父亲才能打儿子。那肯定先打(A_i<B_i)的怪，对于(A_i<B_i)的怪，先打(A_i)小的。对于(A_i geq B_i)的怪，考虑(i, j)两只怪兽，先打(i)，则血量减小(A_i+A_j-B_i)，先打(j)，则血量减小(A_i+A_j-B_j)，因此先打(B_i)大的。
假设求出来的攻击顺序为(p_1, p_2, ..., p_n)
若(p_1)没有父亲，则打(p_1)
否则在打完(p_1)的父亲后，紧接着打(p_1)最优，因此可以将(p_1)和父亲合并，将(p_1)的儿子的父亲改成(p_1)的父亲。
重复操作，每次操作都会少一只怪，所以只要按照打怪的规则维护一个堆，用并查集维护父亲。

时间复杂度：(O(nlogn))

I - Problem I. Random Sequence

题目描述：给定一个序列(a_i)，如果(a_i=0)，则可以用([1, m])中的数替换，再给定一个长度为(m)的数组(v)，求
[prod_{i=1}^{n-3}v[gcd(a_i, a_{i+1}, a_{i+2}, a_{i+3})]]
的期望值。

solution
(f[i][j][k][p])表示到第(i)个数，前三个数的(gcd=j)，前两个数的(gcd=k)，前一个数的(gcd=p)，然后枚举(i+1)是什么数，更新状态。因为(gcd)的原因，所以(j|k, k|p)，因此状态数不多。

时间复杂度：(O(能过))

L - Problem L. Visual Cube

题目描述：给出长方体的长宽高，输出这个长方体。

solution
找规律。

时间复杂度：(O(边长^2))

M - Problem M. Walking Plan

题目描述：给定一个(n)个点，(m)条边的有向图，边有权值，(q)个询问，每次询问(u)到(v)至少经过(k)条边的最小值。

solution
分块，每走(100)步分一块，预处理出每两个点恰好走(i)步的最小值，至少走(i)步的最小值，然后(100)步(100)步地走，处理出恰好走(100i)步的最小值。询问时先整百地走，再加上至少走(i)步的最小值即可。

时间复杂度：(O(n^3sqrt{k}+qn))