线性代数的本质-08第二部分-以线性代数的眼光看叉积

Posted 2020-12-30 sky-z

叉积究竟应该如何理解呢？如何从多维空间压缩到一维空间呢？如何解读他们的坐标呢？

对偶性的思想在于：当观察到多维空间向数轴的线性变换时，它均与空间中的唯一一个向量所对应，应用线性变换和这个向量点乘等价。

数值上说：这是因为这类线性变换可以用一个只有一行的矩阵描述，而它的每一列给出了基向量变换后的位置。

• 叉积

 

1. 根据向量v和向量w定义一个三维到一维的线性变换
2. 找到它的对偶向量
3. 说明这个对偶向量就是向量v和向量w的叉积

• 三维向量的叉积

三维向量的叉积，并非是三个三维向量的行列式（解决了上一节内容的疑惑！）真正的三维向量的叉积接收两个向量并且输出一个向量。

• 何为三维向量的叉积

三维向量的叉积，接收两个向量并且接收一个向量（那么等价的行列式计算应该如何描述）。

1. 将第一个向量u看作是可变向量，比如x,y,z，而向量v和w保持不变。
2. 此时，拥有一个三维空间到数轴的函数。
3. 输入一个向量，通过矩阵的行列式得到一个数。

几何意义是，对于任意一个输入的向量（x,y,z）,均考虑为由它和v和w确定的平行六面体。得到其体积，然后确定符号。

 

• 若承认是线性的，那么矩阵的乘法可以描述这个函数了

具体描述，这个函数从三维空间到一维空间，会存在一个1×3的矩阵代表这个变换。

对偶性的角度考虑，从多维空间到一维空间的变换的特别之处在于，可以将整个矩阵树立起来，将整个过程看作与这个特定向量的点积。

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～以上思考过程是核心的理解过程～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

在此，我们拥有一个从三维空间到数轴的函数了。

输入一个向量（x,y,z），然后通过矩阵的行列式得到一个数。

函数的几何意义是，对于任意输入向量（x,y,z）,均考虑为由它和v与w确定的平行六面体，得到其体积然后根据取向确定符号。

• 几何理解

前言考虑：将向量p与向量（x,y,z）点乘时，所得结果等于一个由（x,y,z）和v与w向量确定的平行六面体的有向体积，那么什么样的向量p可以满足这一特殊性质。

1. 按照几何角度分析，如果最后结果是平行六面体的体积，那么向量p的模长应该等于v与w向量张成平面的面积。
2. 其次，向量p的方向应该与平行四边形所在的面垂直，以此保证向量p与向量（x,y,z）点乘时，向量（x,y,z）恰好映射到向量p为高。（棒！画个图一目了然）
   

～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～下面听解答～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～

1. 思考方式，是这样应该无误了，并且以此说明向量p应该是唯一确定的（前提是必须垂直于平面，并且垂直平面是认为设定的）。

• 有趣的弹幕

1. 当u取原点时，这一变换会使之缩到原点，因为平行六面体已经没有高了。
2. 根据相似原理，当u在一条直线上运动时，这个平行六面体的体积与u的长度呈正比。
3. 所以在这条直线上等距离取u时，这一变换会使得这些点在数轴上等距离分布。
4. 根据前面点积的介绍，这是一个线性变换

• 有趣的评论区

1. 其实向量积并不是线性空间内禀的东西，不像内积，总是可以良好的定义的。如果追根究底的话，会涉及的“外代数”这种非交换代数（因为非交换，所以才要有右手定则）。向量积只有在三维向量空间才能定义，理由也只不过是Λ^2(R^3)恰巧同构于R^3而已。
2. 对于某些【x y z】，使得这个等式成立的p可能不需要垂直于vw平面，但是考虑对于所有任意的【xi yi zi】，如果p使得这个等式成立，那么p一定是垂直于vw平面的。不知道这么说你能理解不……（某位同学回答一位纠结于P可以不垂直平面而得到无数个P的同学）
3. 评论区好多内容，说的大体相同，我就粘帖一个话最少的吧。点积与叉积有一个相似之处就是能够将原本三维的向量转化为一个常数（constant)，尽管叉积和点积所产生的常数意义是不一样的（叉积出的数是面积，点积出的数是一个向量的投影长度与另一个向量长度之积），但是这两种积（product)是否存在某种联系呢？作者引入了这样一个模型来探究点积与叉积的关系：在三维空间中一个任意向量（x y z)与一个待求向量P相点乘时，若其结果，与该任意向量（x y z)与两个已知向量（v1 v2 v3)（w1 w2 w3)相叉乘的结果相等时，试问：待求向量P与已知的两个已知向量(v1 v2 v3)(w1 w2 w3)有什么关系？这个问题的答案是：向量P的大小（长度）在数值上等于两个已知向量(v1 v2 v3)(w1 w2 w3)所围成的平行四边形的面积，向量P的方向垂直于两个已知向量（v1 v2 v3)(w1 w2 w3)所在的平面。综上：一个三维向量与两个已知三维向量的叉积，等效于这个三维向量点乘一个这样的向量：它的大小（长度）等于前两个已知向量所谓乘图形的面积，它的方向垂直于两个已知向量所在平面的向量；这就是点积与叉积的相关联之处。OK,完。