agc008FBlack Radius

Posted 2020-12-30 yoyoball

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Solution

　　?这题好神仙啊qwq疯狂orz看懂日文题解的sjk太强啦qwq

?　　?

?　　?首先我们要统计的东西，是一个涂黑的连通块，然后我们考虑找一个东西使得它可以和每个不同的连通块（也就是不同的染色方案）一一对应，那么这里我们找这个连通块的直径的中心部分（以下简称中心），这个中心根据直径的长度为奇数或者偶数可以是一个点或者一条边

　　?那么现在，如果说我们知道了中心（一个点或者一条边），知道了半径（就是直径的一半），这个连通块就确定下来了

?　　?那么现在我们要做的就是枚举中心，然后看以其为中心能有多少种不同的半径选择，一种选择方案合法当且仅当存在一个点(x)和一个非负整数(d)能够将其构造出来

　　?

?　　?那么接下来我们就可以愉快分类讨论了

?　　?为了方便下面的描述，我们先统一一些记号：

(depmx[x])：以(x)的子树的最大深度（关于这个子树到底是哪种，依下面的描述定）

(dis(x,y))：(x)到(y)在树上的简单路径长度

　　?

?　　?先看比较简单的情况：中心是一条边((u,v))

?　　?我们用三角形直观地表示其“子树”，三角形的大小反映的是(depmx[u])和(depmx[v])的大小关系，那么这条边为中心的贡献是：如果(u)中（(depmx)较小的那个点）有可选的点，那么对答案有(1)的贡献，否则没有贡献

?　　?具体是因为，我们要保证存在一个(x)和(d)能够构造这种方案，那么假设(u)中有可选的点，我们如果要构造出这个连通块并且保证((u,v))是中心的话，(u)的整个“子树”中的所有点必须涂完，否则无法涂到(v)的子树中对应的位置，((u,v))就不是中心了

?　　?而如果说(u)中没有可选的点，考虑选择(v)中的一个点来构造，会发现这是不行的，因为两边必定不对称，无法保证((u,v))是中心

? 　　?

?　　?接下来是稍微复杂一点的情况：中心是一个点(u)

?　　?同样的我们还是直观地用三角形表示子树，然后用三角形的。。高度来表示(depmx)之间的相对大小，有黑点表示这个子树中有可选的点，没有反之，为了方便下面的表述，我们给子树编号为(1,2,3,4)

?　　?感性理解一下。。半径的可选范围应该是一段区间，那么现在我们要做的就是卡出上界和下界

?　　?这里我们还需要分两个小类讨论

（1）(u)是一个可选点

?　　?如果(u)可选，那么下界显然就是(0)（只涂自己一个点），上界的话就是所有后继子树中（也就是上图中的(1,2,3,4)号子树）(depmx)的次大值

?　　?为什么不能是最大值呢？因为一旦半径是最大值，显然(4)号子树会被涂完，(1sim 3)号子树也会被涂完，但是这个时候直径的中点就不是我们钦定的中心(u)了，只有在(depmx)次大值之前，我们可以保持这样一个状态：

?　　?橙色线以上是涂色涂到的部分，过(u)的橙色线是直径，只要半径的长度是(<=depmx)次大值的，我们一定可以将直径的两个端点定在次深子树的“边界”和最深子树的“边界”上，这样一定能保证(u)是中心，而如果(>depmx)次大值了，中心就会向最深子树那个方向偏移

　　?所以这部分的贡献是：(depmx)次大值+1

　　?

（2）(u)不是一个可选点

?　　?如果(u)不可选，那么显然下界是需要调整的

?　　?下界应该调整为有可选点的子树中(depmx)的最小值，因为为了涂到(u)并且保证(u)为直径的中点，最小的那个子树必须涂完（具体可以考虑，假设一个我们选择的(x)在这个最小的子树内，那么(x)自然要先涂到(u)，这样(x)以下的节点也会被涂到，然后为了保证(u)是中心，这个半径的长度还需要继续扩大，对应的(x)下更深的节点也会继续被涂到，这样一直延伸直到(x)所在的整个子树都被涂完，(x)在其他子树中的情况类似）

?　　?接着就是上界，我们是否可以继续使用（1）中的结论呢？

?　　?答案是肯定的，同样我们也可以考虑，假设(x)在次深子树中，同样延伸的话最后会将次深子树涂完，然后我们可以得到一条类似（1）中所说的那样的直径，(x)在其他子树中类似

?　　?所以这部分的贡献是：有可选点的子树的(depmx)的最小值-(depmx)次小值+1

? 　　?

?　　?注意，如果说没有后继儿子，这个点的贡献就是：如果这个点是可选点，贡献为(1)，否则贡献为(0)

　　?

?　　?然后我们就可以快乐树d在(O(n))内预处理出往下的(depmx)和往上的(depmx)然后就可以快乐求解啦

　　?

?　　?代码大概长这个样子

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=2*(1e5)+10,inf=2147483647;
struct xxx{
    int y,nxt,x;
}a[N*2];
struct Data{/*{{{*/
    int mx,smx,idmx;
    void init(){mx=-1; smx=-1; idmx=-1;}
    void update(int delta,int id1){
        if (mx<delta)
            smx=mx,mx=delta,idmx=id1;
        else
            smx=max(smx,delta);
    }
}info[N];/*}}}*/
char s[N];
int h[N],depmx[N][2],ok[N],cnt[N][2],dep[N];
int n,m,tot,all;
ll ans;
void add(int x,int y){a[++tot].y=y; a[tot].nxt=h[x]; h[x]=tot; a[tot].x=x;}
void dfs(int fa,int x,int d){
    int u;
    dep[x]=d;
    depmx[x][0]=depmx[x][1]=0;
    info[x].init();
    info[x].update(0,x);
    cnt[x][0]=cnt[x][1]=ok[x];
    for (int i=h[x];i!=-1;i=a[i].nxt){
        u=a[i].y;
        if (u==fa) continue;
        dfs(x,u,d+1);
        depmx[x][0]=max(depmx[x][0],depmx[u][0]+1);
        info[x].update(depmx[u][0]+1,u);
        cnt[x][0]+=cnt[u][0];
    }
}
void dfs1(int fa,int x){
    int u;
    if (fa){
        if (x==info[fa].idmx){
            if (info[fa].smx!=-1){
                depmx[x][1]=max(depmx[x][1],info[fa].smx+1);
                info[x].update(info[fa].smx+1,fa);
            }
        }
        else{
            if (info[fa].mx!=-1){
                depmx[x][1]=max(depmx[x][1],info[fa].mx+1);
                info[x].update(info[fa].mx+1,fa);
            }
        }
        cnt[x][1]=cnt[fa][1]+cnt[fa][0]-cnt[x][0];
    }
    for (int i=h[x];i!=-1;i=a[i].nxt){
        u=a[i].y;
        if (u==fa) continue;
        dfs1(x,u);
    }
}
int solve_edge(int i){
    int x=a[i].x,y=a[i].y,tmp;
    int depx,depy,cntx,cnty;
    if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
    depy=depmx[y][0]; cnty=cnt[y][0];
    cntx=all-cnty;
    if (y==info[x].idmx) depx=info[x].smx;
    else depx=info[x].mx;
    if (depx==depy&&(cntx||cnty)) return 1;
    if (depx<depy&&cntx==0) return 0;
    if (depy<depx&&cnty==0) return 0;
    return 1;
}
int solve_vertice(int x){
    int son=0,u;
    for (int i=h[x];i!=-1;i=a[i].nxt) ++son;
        //son+=dep[a[i].y]<dep[x]?cnt[a[i].y][1]:cnt[a[i].y][0];
    if (son<=1) return ok[x];
    int up,dw=inf,smx=-1,mx=depmx[x][1];
    if (depmx[x][1]>0&&all-cnt[x][0]) dw=min(dw,depmx[x][1]);
    for (int i=h[x];i!=-1;i=a[i].nxt){
        u=a[i].y;
        if (dep[u]<dep[x]) continue;
        if (cnt[u][0])
            dw=min(dw,depmx[u][0]+1);
        if (depmx[u][0]+1>mx)
            smx=mx,mx=depmx[u][0]+1;
        else
            smx=max(smx,depmx[u][0]+1);
    }
    up=smx;
    if (ok[x]) dw=0;
    if (dw==inf) return 0;
    if (up<dw) return 0;
    return up-dw+1;
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("a.in","r",stdin);
#endif
    int x,y;
    scanf("%d",&n);
    memset(h,-1,sizeof(h));
    tot=0;
    for (int i=1;i<n;++i){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y); add(y,x);
    }
    scanf("%s",s+1);
    all=0;
    for (int i=1;i<=n;++i) ok[i]=s[i]-'0',all+=ok[i];
    dfs(0,1,1);
    dfs1(0,1);
    for (int i=1;i<=tot;i+=2) 
        ans+=solve_edge(i);
    for (int i=1;i<=n;++i) 
        ans+=solve_vertice(i);
    printf("%lld
",ans);
}