AGC008_E Next or Nextnext

Posted 2021-01-30 alseo_roplyer

图片搬运来源
https://blog.csdn.net/litble/article/details/83118814

题面翻译
题面给定一个长度为N的序列p，问有多少种长度为N的排列q，符合以下条件：对于每个1<=i<=N,满足(q_i=p_i || q_{q_i}=p_i)。

思路
我们先定义一张有向图，它是由一个序列a构造出来的，其中图中的每条边(u->v)，都满足(a_u=v)，简单来说，就是对于这个序列，(i)向(a_i)连边。
然后我们再反过来考虑题目。我们现在手上有一个排列q，它会符合哪些序列呢？
显然对于一个排列构造出来的图一定是多个环。我们先举个例子，画出其中的一个环。

那么对于原序列p，有四种情况：

1.所有的(p_i)均为(i)所指的点（即均满足(q_i=p_i))，环不变。

2.所有的(p_i)均为(q_i)所指的点（即均满足(q_{q_i}=p_i)），且环的大小为奇数，环的大小不变，每个点的指向有所改变。

3.所有的(p_i)均为(q_i)所指的点（即均满足(q_{q_i}=p_i)），且环的大小为偶数，分裂成两个大小相同的环。

4.部分(p_i)满足为(i)所指，部分(p_i)满足为(q_i)所指，演变成一个由一个环和多个链组成的基环内向树。

但是现在我们只知道(p_i)构成的图，如何推出(q_i)？
对于环，把长度相同的放在一起做个dp，转移直接枚举他们的变化情况。
对于一棵基环内向树，我们考虑每个挂在环上的链，如何把它们塞到环里面去，而且相邻两个点中间最多间隔一个点?大致如下图：

我们设这条链到下一条链之间有(l_2)条边，这条链有(l_1)条边，那么塞进链的方案数为：

[egin{cases}0&l_1>l_2\\ 1&,l_1=l_2\\ 2&,l_1<l_2end{cases}]
然后我们乘一乘即可算出答案。

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1e5;
const int mod=1e9+7;
int n,cnt,ans=1;
int a[maxn+8],deg[maxn+8],vis[maxn+8],cir[maxn+8],l1[maxn+8],l2[maxn+8],sum[maxn+8];
int f[maxn+8];
bool tree[maxn+8];

int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    for (;ch<‘0‘||ch>‘9‘;ch=getchar()) if (ch==‘-‘) f=-1;
    for (;ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘;ch=getchar()) x=x*10+ch-‘0‘;
    return x*f;
}

void solve(int x)
{
    int siz_line=0;
    while(!cir[x]) siz_line++,x=a[x];
    l1[x]=siz_line;
    tree[cir[x]]=1;
    siz_line=1,x=a[x];
    while(deg[x]!=2) siz_line++,x=a[x];
    l2[x]=siz_line;
}

int main()
{
    n=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read(),deg[a[i]]++;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        if (vis[i]) continue;
        int x=i;
        while(!vis[x]) vis[x]=i,x=a[x];
        if (vis[x]!=i) continue;
        ++cnt;
        while(!cir[x]) cir[x]=cnt,x=a[x];
    }
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for (int i=1;i<=n;i++) if (deg[i]>(1+(cir[i]>0))) {puts("0");return 0;}
    for (int i=1;i<=n;i++) if (!deg[i]) solve(i);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    if (l1[i]) ans=1ll*ans*((l2[i]>=l1[i])+(l2[i]>l1[i]))%mod;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        if (!cir[i]) continue;
        if (tree[cir[i]]) continue;
        if (vis[i]) continue;
        int x=i,siz=0;while(!vis[x]) siz++,vis[x]=1,x=a[x];
        sum[siz]++;
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        if (!sum[i]) continue;
        //printf("%d %d
",i,sum[i]);
        f[0]=1;
        for (int j=1;j<=sum[i];j++)
        {
            f[j]=f[j-1];
            if (i>1&&(i&1)) f[j]=(f[j]+f[j-1])%mod;
            if (j>1) f[j]=(f[j]+1ll*f[j-2]*(j-1)%mod*i%mod)%mod;
        }
        ans=1ll*ans*f[sum[i]]%mod;
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}