极大似然估计思想的最简单解释

Posted 2020-12-28 dicksonjyl

极大似然估计思想的最简单解释

 

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极大似然估计法的理解可以从三个角度入手，一个是整体性的思想，然后两个分别是离散状态的极大似然估计和连续状态的极大似然估计的简单例子。

一、思想

极大似然估计可以拆成三个词，分别是“极大”、“似然”、“估计”，分别的意思如下：
极大：最大的概率
似然：看起来是这个样子的
估计：就是这个样子的
连起来就是，最大的概率看起来是这个样子的那就是这个样子的。


举个例子：
有两个妈妈带着一个小孩到了你的面前，妈妈A和小孩长得很像，妈妈B和小孩一点都不像，问你谁是孩子的妈妈，你说是妈妈A。好的，那这种时候你所采取的方式就是极大似然估计：妈妈A和小孩长得像，所以妈妈A是小孩的妈妈的概率大，这样妈妈A看来就是小孩的妈妈，妈妈A就是小孩的妈妈。


总结：极大似然估计就是在只有概率的情况下，忽略低概率事件直接将高概率事件认为是真实事件的思想。

二、离散状态

知道了思想，接下来还是需要一定的计算，此处本人为了使更多的人能理解极大似然估计的思想和计算方法，此处的计算完全采取高中数学知识以内的内容进行推导。


例1、离散的小球问题：
箱子里有一定数量的小球，每次随机拿取一个小球，查看颜色以后放回，已知拿到白球的概率p为0.7或者0.3，拿了三次，都不是白球，想要求拿到白球的概率的极大似然估计。


分析：此处从数学上来讲，想要准确的求出拿到白球的概率是不可能的，所以此处求的是概率的极大似然估计。而这里的有放回的拿取，是高中数学中经典的独立重复事件，可以很简单的分别求出白球概率为0.7和0.3的时候拿三次都不是白球的概率。


解：
若拿到白球的概率为0.7，拿三次都不是白球的概率为：
P_0.7=0.3*0.3*0.3=0.027
若拿到白球的概率为0.3，拿三次都不是白球的概率为：
P_0.3=0.7*0.7*0.7=0.343


P_0.3>P_0.7，可知当前情况下白球概率为0.3的概率大于白球概率为0.7
综上所述：
拿到白球的概率的极大似然估计为0.3

三、连续状态

连续状态依然用刚刚拿小球的例子，不过此处白球的概率不再明确为0.7-0.3，此处只知道白球的概率p的范围为0.3<=p<=1。


例2、连续的小球问题：
箱子里有一定数量的小球，每次随机拿取一个小球，查看颜色以后放回，已知拿到白球的概率p的范围是[0.3,0.7]，拿了三次，都不是白球，想要求拿到白球的概率的极大似然估计。


分析：与例1相同，想要知道小球的极大似然估计，就是要先求在已知条件下，发生已知事件的概率，然后据此求出小球的极大似然估计。


解：
记拿到白球的概率为p，取白球的事件为Y，取到时Y=1，未取到时Y=0，小球颜色不是白色的事件Y重复3次的概率为：
P(Y=0;p)=(1-p)^3
欲求p的极大似然估计，即要求P(Y=0;p)的极大值：
                       
令Q(p)=(1-p)^3
Q‘(p)=-3*(1-p)^2
令Q‘(p)=0
求得Q的极值点为p=1，且当p<1时,Q‘(p)<0，p>1时，Q‘(p)<0，可知Q(p)为单调减函数
可知0.3<=p<=1的条件下，p=0.3时，Q(p)取得最大值。


综上所述：小球概率的极大似然估计为0.3

四、总结

通过极大似然估计的思想、离散形式、连续形式的分析，可以得出极大似然估计的通常解法，总体来说分为以下几步：
1、得到所要求的极大似然估计的概率p的范围
2、以p为自变量，推导出当前已知事件的概率函数式Q(p)
3、求出能使得Q(p)最大的p
这样便求出了极大似然估计值p