刚性微分方程与非刚性的大概区分（自看，求指点）

Posted 2020-12-28 yanmingjiang

（这里的内容是作为自己的一个粗略的总结，不确定是否正确，希望有大佬能够更明确的指出其中的错误，作出指导）

对于刚性和非刚性微分方程的区分，可以简单的转变为在将原方程转换为常微分方程组后，进行一个简单的系数判断：

例如：

y‘‘‘ - 3y‘‘ - y‘y = 0, y(0) = 0, y‘(0) = 0, y‘‘(0) = -1;

在这里可以设  y1 = y, y2 = y‘, y3 = y‘‘, 有

　　y1‘ = y2, 　　　　　　y1(0) = 0,

　　y2‘ = y3,　　　　　　 y2(0) = 1,

　　y3‘ = 3y3 + y2y1,　　 y3(0) = -1,

这里可以简单判断出方程组的右侧系数矩阵值差异不大，得到的特征值差异随之也不大，可以简单判断为非刚性微分方程。

MATLAB中解非刚性微分方程常用 ode45 ;

 

又例如：

　　y‘‘ - 1000(1 - y^2)y‘ + y = 0, y(0) = 2, y‘(0) = 0;

在这里可以设y1 = y, y2 = y‘, 有

　　y1‘ = y2,　　　　　　　　　　 y1(0) = 2,

　　y2‘ = 1000(1 - y1^2)y2 - y1,　　y2(0) = 0,

这里可以简单判断出方程组的右侧系数矩阵值差异较大，得到的特征值差异随之较大，可以简单判断为刚性微分方程。

MATLAB中解刚性微分方程常用 ode15s , ode23s , ode23t , ode23tb ;

 

对于所有的初值问题解方程方法均有 solver(  ‘f( t, y )‘ , [t0 tend], y0 ) ：

　　--solver : 指代所有的方法调用；

　　--f( t, y ) : 为M文件定义的微分方程 y‘ = f(x, y) 右端的函数， 即使用不到两个参数，也要保留两个参数，且返回的结果应是列向量；

　　--[t0 tend] : 为参数中变量 x / t 的取值范围；

　　--y0 : 为参数中 y 的初始值，要求为列向量