MATLAB求解器

Posted 2022-06-27 王张飞

在工程实践中，我们经常遇到一些ODEs，其中某些解变换缓慢，另一些变化很快，且相差悬殊的微分方程，这就是所谓的刚性问题(Stiff)，对于所有解的变化相当我们则称为非刚性问题(Nonstiff)。

变步长模式解法器有：ode45，ode23，ode113，ode15s，ode23s，ode23t，ode23tb和discrete。

a) ode45：缺省值，四/五阶龙格－库塔法，适用于大多数连续或离散系统，但不适用于刚性（stiff）系统。它是单步解法器，也就是，在计算y(tn)时，它仅需要最近处理时刻的结果y(tn-1)。一般来说，面对一个仿真问题最好是首先试试ode45。
b) ode23：二/三阶龙格－库塔法，它在误差限要求不高和求解的问题不太难的情况下，可能会比ode45更有效。也是一个单步解法器。
c) ode113：是一种阶数可变的解法器，它在误差容许要求严格的情况下通常比ode45有效。ode113是一种多步解法器，也就是在计算当前时刻输出时，它需要以前多个时刻的解。
d) ode15s：是一种基于数字微分公式的解法器（NDFs）。也是一种多步解法器。适用于刚性系统，当用户估计要解决的问题是比较困难的，或者不能使用ode45，或者即使使用效果也不好，就可以用ode15s。
e) ode23s：它是一种单步解法器，专门应用于刚性系统，在弱误差允许下的效果好于ode15s。它能解决某些ode15s所不能有效解决的stiff问题。
f) ode23t：是梯形规则的一种自由插值实现。这种解法器适用于求解适度stiff的问题而用户又需要一个无数字振荡的解法器的情况。
g)ode23tb：是TR-BDF2的一种实现， TR-BDF2 是具有两个阶段的隐式龙格－库塔公式。
h)discrtet：当Simulink检查到模型没有连续状态时使用它。

固定步长模式解法器有：ode5，ode4，ode3，ode2，ode1和discrete。
a) ode5：缺省值，是ode45的固定步长版本，适用于大多数连续或离散系统，不适用于刚性系统。
b) ode4：四阶龙格－库塔法，具有一定的计算精度。
c) ode3：固定步长的二/三阶龙格－库塔法。
d) ode2：改进的欧拉法。
e) ode1：欧拉法。
f) discrete：是一个实现积分的固定步长解法器，它适合于离散无连续状态的系统。

3．因为没有一种算法可以有效地解决所有的ODE问题，为此，MATLAB提供了多种求解器Solver，对于不同的ODE问题，采用不同的Solver。

4．在计算过程中，用户可以对求解指令solver中的具体执行参数进行设置（如绝对误差、相对误差、步长等）。

例2-45 求解描述振荡器的经典的Ver der Pol微分方程file:///C:/Users/lx/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.png

y(0)=1，y’(0)=0

令x1=y，x2=dy/dx，则

dx1/dt = x2

dx2/dt = μ(1-x2)-x1

编写函数文件verderpol.m：

function xprime = verderpol(t,x)

global MU

xprime = \\[x(2);MU\\*(1-x(1)^2)\\*x(2)-x(1)\\];

再在命令窗口中执行：

>>global MU

>>MU = 7;

>>Y0=[1;0]

>>[t,x] = ode45(‘verderpol’,0,40,Y0);

>>x1=x(:,1);x2=x(:,2);

>>plot(t,x1,t,x2)

图形结果为图2-20。

图2-20 Ver der Pol微分方程图