Disgruntled Judge UVA - 12169（扩展欧几里得应用+暴力）

Posted 2020-12-27 cdplay

　　题目给我们的输入数值都是序列中的单数项，我们已知递推公式xi=(aXi-1 + b)mod10001,

　　所以我们可以将X2表示为X2=(aX1 + b)mod10001,将X3表示为X3=(aX2 + b)mod10001

　　然后将X2的式子带入到X3中得：X3=(a(aX1 + b)mod10001 + b)mod10001

　　　　　　　　　　　　　　 X3=(a(aX1 + b)+ b)mod10001

　　　　　　　　　　　　　　 X3+10001*k=a*a*X1+a*b+b
　　　　　　　　　　　　　　 10001(-k)+(a+1)b=X3-a*a*X1 ——1式
　　推导出上式之后，我们发现上式与ax+by=c（2式）这个式子格式一样，所以我们可以用扩展欧几里得算法来进行求解

　　因为1式中的a,b,-k都是未知数,所以我们可以通过枚举a的值来进行求解。

　　1式中的10001,-k,(a+1),b ,X3-a*a*X1分别对应2式中的a,x,b,y,c

　　我们通过扩展欧几里得算法，可以求出gcd(10001,a+1),如果gcd不是c的整数倍的话，则式子无解，可以继续枚举别的a
　　如果是整数倍的话，则可以用扩展欧几里得算法算出来的b求出1式中的b，这样我们就可以算出通过公式算出序列中的每个单项了

　　如果求出来的单项与输入不符合，则说明这个a不是正确的a，然后继续枚举别的a

　　因为递推公式对10001取模，所以a是0~10000的数，所以枚举所有a，时间也够。

 1 #include<iostream>
 2 
 3 typedef  long long ull;
 4 const int maxn = 200 + 20;
 5 
 6 using namespace std;
 7 
 8 void gcd(ull a, ull b, ull &d, ull &x, ull &y);
 9 
10 int main()
11 {
12     ios::sync_with_stdio(false);
13     cin.tie(0);
14     cout.tie(0);
15 
16     int T;
17     ull p[maxn];
18     cin >> T;
19     for (int i = 1; i < 2*T; i+=2)
20     {
21         cin >> p[i];
22     }
23 
24     for (int a = 1096;a<=10000; a++)
25     {
26         ull k,b,d;
27         ull t =p[3]-a * a*p[1];
28         gcd(10001,a+1, d, k, b);
29         if (t%d)//如果不是倍数，则无解
30             continue;
31 
32         bool flag = true;
33         b = b * t / d;//我们需要通过算法算出来的b，乘以相应的倍数得到递推式中的b
34         for (int i = 2; i <= 2 * T; i++)//通过递推公式算出单项，验证a是否合法
35         {
36             if (i & 1)
37             {
38                 if (p[i] != (a*p[i - 1] + b) % 10001)
39                 {
40                     flag = false;
41                     break;
42                 }
43             }
44             else
45                 p[i] = (a*p[i - 1] + b) % 10001;
46         }
47 
48         if (flag == true)
49             break;
50     }
51     
52     for (int i = 2; i <= 2 * T; i += 2)
53         cout << p[i] << endl;
54 
55 
56     return 0;
57 }
58 
59 void gcd(ull a, ull b, ull &d, ull &x, ull &y)
60 {
61     if (!b)
62     {
63         d = a;
64         x = 1;
65         y = 0;
66     }
67     else
68     {
69         gcd(b, a%b, d, y, x);
70         y -= x * (a / b);
71     }
72 }