bzoj4036按位或
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Solution
?感觉容斥的东西内容有点qwq多啊qwq还是以题目的形式来慢慢补档好了
?这里补的是min-max容斥
? ?
?其实min-max容斥好像。。只是一个形式而已。。本质还是普通容斥==
?记(max(S))表示集合(S)中最大的元素,记(min(S))表示集合中最小的元素,那么:
[
max(S)=sumlimits_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-1}min(T)min(S)=sumlimits_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-1}max(T)\]
? ?这个是最基本的形式
? ?然后对于第一条式子这里记录一个sk学长提供的比较直观的证明:
? ?对于(S)这个数集,我们将其中的每一个元素(x)看成一个({1,2,3,...,x})的集合,这样(S)就变成了一个集合的集合(我们记为(S')),原来数集(S)中的最大值就可以看成现在(S')中所有集合的并的大小,最小值就可以看成(S')中所有所有集合的交的大小,然后我们有这样一条式子来求一堆集合的并的大小:
[
|igcuplimits_{i=1}^{n}A_i|=sumlimits_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}sumlimits_{1<=j_1<j_2<...<j_k<=n}|A_{j_1}cap A_{j_2}cap ...cap A_{j_k}|
]
?然后我们就发现其实这个稍微转换一下其实就是:
[
max(S)=sumlimits_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-1}min(T)
]
? ?至于(min)的那条怎么证的话。。我们只要把数集(S)中的每一个元素(x)看成一个({x+1,x+2,...inf})的集合,同样将(S)转成一个集合的集合(S'),然后最小值操作就变成了(inf-)集合的并,最大值操作就变成了(inf-)集合的交,然后就(inf)的话系数那里稍微抵消一下之类的最后只剩下一个(inf),那么其他的就跟上面一样了
?
?然后这个东西在期望中也是适用的,也就是:
[
E(max(S))=sumlimits_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-1}E(min(S))E(min(S))=sumlimits_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-1}E(max(S))\]
? ?具体为什么。。首先补一个容斥原理在概率中的应用:
?对于事件(A_i(1<=i<=n)),我们记(P(A_i))表示(A_i)事件发生的概率,那么至少一个事件发生的概率是:
[
P(igcuplimits_{i=1}^{n}A_i)=sumlimits_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}sumlimits_{1<=j_1<j_2<...<j_k<=n}P(A_{j_1}cap A_{j_2}cap ...cap A_{j_k})
]
?然后(E)那个式子的证明什么的。。只要暴力展开一下然后发现就是普通容斥然后就没有然后了==
? ?直接讲不太好说,还是放在题目里面比较好
?
?比如说这题
? ?稍微转化一下题意,其实就是有一个集合(S),然后每秒给你(S)的任意一个子集(不同子集概率不同),求期望多少秒之后手头上的所有子集的并首次等于(S)
? ?首先无解的话就是所有有值的(P)对应的数或起来都还得不到全集
? ?接下来就只讨论有解的情况
?我们记(max(S))表示集合(S)中最后被或到的那个子集(也就是最后一个取到的数),(min(S))表示集合(S)中第一个被或到的子集(也就是第一个取到的数),加上个(E)在这里表示的就是期望时间,那么我们有:
[
E(max(S))=sumlimits_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|-1}E(min(T))\]
?我们其实可以把(E(max(S)))理解成我们要的答案,(E(min(T)))理解成或到集合的任意一个子集的期望时间,那(E(min(T)))是很好求的,只要把所有子集的(P)求个和得到概率,然后用(1)除一下就好了:(E(min(T))=frac{1}{sumlimits_{S'cap T
eq emptyset}P(S')})
?那所以我们只要求出(sumlimits_{S'cap T
eq emptyset}P(S'))就可以了,这里需要稍微转化一下:
[
sumlimits_{S'cap T
eq emptyset}P(S') Leftrightarrow (sum P-sumlimits_{S'cap T=emptyset}p(S'))Leftrightarrow (sum P-sumlimits_{S'subseteq T的补集}P(S'))
]
?所以我们现在要对于每一个原集合(S)的子集(T),求出(sumlimits_{s'subseteq T}P(s')),调用的时候带补集进去就好了
? ?到这一步我们重新将这个问题转化回数,也就是说我们其实是要对于([0,2^n-1])范围内的每一个数(i)求(f[i]=sumlimits_{j|i=i}p_j)
? ?那么这个用FMT来求(其实就是按照某个顺序转移,Portal-->lcm这题中有用到类似的方法,不再赘述)或者直接FWT来求就好了(FWT的话就是。。或卷积在构造的时候那个形式恰好就是(f[i]=sumlimits_{j|i=i}a[i]),所以可以直接对原来的(p)数组进行FWT然后直接用就行了)
?然后这题就做完了
?
? ?代码大概长这个样子(是FMT的写法)
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=(1<<20)+10;
const double eps=1e-6;
int cnt[N];
double p[N],f[N];
int n,m,all;
bool in(int st,int x){return st>>x&1;}
int St(int x){return 1<<x;}
void prework(){
for (int i=0;i<all;++i) f[i]=p[i];
for (int i=0;i<n;++i)
for (int j=0;j<all;++j)
if (in(j,i))
f[j]+=f[j^St(i)];
cnt[0]=0;
for (int i=0;i<all;++i) cnt[i]=cnt[i>>1]+(i&1);
}
bool check(){
int st=0;
for (int i=0;i<all;++i)
if (fabs(p[i])>eps) st|=i;
return st==(all-1);
}
void solve(){
double ans=0;
for (int i=1;i<all;++i)
if (cnt[i]&1)
ans+=1.0/(1.0-f[(all-1)-i]);
else
ans-=1.0/(1.0-f[(all-1)-i]);
printf("%.10lf
",ans);
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("a.in","r",stdin);
#endif
scanf("%d",&n);
all=1<<n;
for (int i=0;i<all;++i) scanf("%lf",p+i);
if (!check()){printf("INF
");return 0;}
prework();
solve();
}
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bzoj4036 / P3175 [HAOI2015]按位或
bzoj 4036 按位或 —— min-max容斥+FMT
bzoj 4036 [HAOI2015]按位或——min-max容斥+FMT