8.2 kmp 扩展kmp

Posted 2020-12-27 raincle

假设一母串S，子串P

KMP:用于求解子串P在母串S中第一次出现的位置，或是在母串S中出现的次数。（最长公共前缀后缀）

next数组的含义：next[i]表示前面长度为i的子串中，前缀和后缀相等的最大长度。

 

 

拓展kmp是对KMP算法的扩展，它解决如下问题：（最长公共前缀）

定义母串S，和子串T，设S的长度为n，T的长度为m，求T与S的每一个后缀的最长公共前缀，也就是说，设extend数组,extend[i]表示T与S[i,n-1]的最长公共前缀，要求出所有extend[i](0<=i<n)。

注意到，如果有一个位置extend[i]=m,则表示T在S中出现，而且是在位置i出现，这就是标准的KMP问题，所以说拓展kmp是对KMP算法的扩展，所以一般将它称为扩展KMP算法。

next数组的含义：next[i]表示子串T与T[i,m-1]（T的第i个后缀）的最长公共前缀（与上面的定义类似，就是以子串代母串）

 

KMP求最小循环节、循环周期：https://blog.csdn.net/hao_zong_yin/article/details/77455285

定理：假设S的长度为len，则S存在最小循环节，循环节的长度L为len-next[len]，子串为S[0…len-next[len]-1]。

（1）如果len可以被len - next[len]整除，则表明字符串S可以完全由循环节循环组成，循环周期T=len/L。

（2）如果不能，说明还需要再添加几个字母才能补全。需要补的个数是循环个数L-len%L=L-(len-L)%L=L-next[len]%L，L=len-next[len]。

定理可以这么理解：

对于一个字符串，如abcd abcd abcd，由长度为4的字符串abcd重复3次得到，那么必然有原字符串的前八位等于后八位。

也就是说，对于某个字符串S，长度为len，由长度为L的字符串s重复R次得到，当R≥2时必然有S[0..len-L-1]=S[L..len-1]，字符串下标从0开始

那么对于KMP算法来说，就有next[len]=len-L。此时L肯定已经是最小的了（因为next的值是前缀和后缀相等的最大长度，即len-L是最大的，那么在len已经确定的情况下，L是最小的）。

 

 

A题：

Description

 HHM要给自己的小狗起名字，他是这样做的，他先找到一个字符串S，字符串S所有前缀与后缀相同的字串，都可以作为名字。现在他想知道所有符合条件的字串的长度。

Input

有多组输入，每一组输入包含一个字符串S(1<=length of S <=400000)

Output

输出所有可能的子串长度，中间以空格结束。最后一个数字后不要有空格。

Sample Input

ababcababababcabab
aaaaa

Sample Output

2 4 9 18
1 2 3 4 5

HINT

 

此题就是求母串S的公共前缀后缀值（跟子串没关系）

设len=strlen(S),next[len]等于长度为len的子串（母串S本身）的最长公共前缀后缀值，所以枚举长度从1到next[len]的前缀后缀，如果相等就记录长度即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
char str[maxn*4];
int Next[400010];
void getnext(char p[])
{
    int plen=strlen(p);
    Next[0]=-1;
    int j=0,k=-1;
    while(j<plen)
    {       //p[k]表示前缀，p[j]表示后缀
        if(k==-1||p[j]==p[k])
        {
            j++;
            k++;
            //if(p[j]==p[k])k=next[k];//因为不能出现p[j]=p[next[j]]，所以当出现时需要继续递归,k = next[k] = next[next[k]]
            Next[j]=k;
        }
        else k=Next[k];
    }
}
int main()
{
    while(~scanf("%s",str))
    {
        getnext(str);
        int l=strlen(str);
        int m=Next[l];
        int i,j;
        string a="",b="";
        for(i=0,j=l-1;i<m;i++,j--)
        {
            a=a+str[i];
            b=str[j]+b;
            if(a==b)printf("%d ",i+1);
        }
        printf("%d
",l);
    }
    return 0;
}

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B题：

Description

HHM碰到了这样一个问题，给出一个字符串，问它最多由多少相同的子串组成

Input

每个测试数据输入一个字符串s,s(1<=len(s)<=1000000)。输入以.结束

Output

输出最多有多少个相同的子串组成。

Sample Input

abcd
aaaa
ababab
.

Sample Output

1
4
3

HINT

 

这题就是一个求循环节的题目，相同的子串即为母串的循环节

用len-next[len]求出循环节的长度

用len/(len-next[len])即可得到有几个相同的子串

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e6+10;
char str[maxn];
int next[maxn];
void getnext(char *s,int next[])
{
    int plen=strlen(s);
    next[0]=-1;
    int j=0,k=-1;
    while(j<=plen-1)
    {       //p[k]表示前缀，p[j]表示后缀
        if(k==-1||s[j]==s[k])
        {
            j++;
            k++;
            //if(p[j]==p[k])k=next[k];//因为不能出现p[j]=p[next[j]]，所以当出现时需要继续递归,k = next[k] = next[next[k]]
            next[j]=k;
        }
        else k=next[k];
    }
}
int main()
{
    while(1)
    {
        scanf("%s",str);
        memset(next,0,sizeof next);
        if(str[0]==‘.‘)break;
        getnext(str,next);
        int l=strlen(str);
        int ans=1;
        if(l%(l-next[l])==0)//不整除就没有循环节
        {
            ans=l/(l-next[l]);
        }
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}

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