浅谈并查集 By cellur925内含题目食物链银河英雄传说等

Posted 2020-12-27 nopartyfoucaodong

什么是并查集？

合并！查询！集合！

专业点说？

动态维护若干不重叠的和，支持合并查询的数据结构！（lyd老师说的）

 

数据结构特点：代表元。即为每个集合选择一个固定的元素，作为整个集合的代表，利用树形结构存储，每个节点都是一个元素，树根是集合的代表元素。（还是lyd老师说的）

 

两大基本操作

一、合并（merge()）

即把两个集合合并到一个的操作。通俗的说，即令其中一个树根为另一个树根的子节点。

void merge(int x,int y)
{
       fa[getf(x)]=getf(y);
}

二、查询（getf()）

朴素的查询效率太低，这里不再赘述。我们通常用到的高效方法是“路径压缩”（按秩合并由于在大多OI竞赛中并不必要，这里不再介绍）。

关于路径压缩，一图可以见真相。

 

也就是每次在查询节点在集合内祖先时，不能直接调用f[x]，因为他是x的一个非根本祖先。而是调用getf函数通过迭代求解，在迭代的过程中，顺便完成了路径压缩。之后要提到的带权并查集、种类并查集与普通并查集的区别在getf上都有很大体系。可以说这一操作是并查集的核心。

这个操作的均摊复杂度为O（logN）。

int getf(int x)
{
       if(x==fa[x]) return x;
       return fa[x]=getf(fa[x]);
}

 

例题1 NOI2015程序自动分析  

先要吐槽一句...这个题我自5月18号（大概）至今，已提交近30次，自己写的常数太丑，改了一次又一次，今天终于A了，所以...人活着还是要有梦想的嘛qwq。

是比较裸的并查集了，相等就进行合并操作，但注意本题数据离散程度较大，需要进行离散化。

献上我的卡线代码。

code

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 int t;
 7 int fa[200005];
 8 int n,cnt,a[200005],tot,b[200005];
 9 struct taojun{
10     int p,q,op;
11 }node[200005];
12 void re(int &x)
13 {
14     x=0;
15     char ch=getchar();
16     bool flag=false;
17     while(ch<‘0‘||ch>‘9‘) flag|=(ch==‘-‘),ch=getchar();
18     while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
19     x=flag ? -x : x;
20 }
21 int getf(int x)
22 {
23     if(fa[x]==x) return x;
24     else return fa[x]=getf(fa[x]);
25 }
26 void merge(int k,int h)
27 {
28     fa[getf(k)]=getf(h);
29 }
30 void discrete()
31 {
32     sort(a+1,a+cnt+1);
33     tot=unique(a+1,a+cnt+1)-a-1;
34 }
35 int query(int x)
36 {
37     return lower_bound(a+1,a+tot+1,x)-a;
38 }
39 void analyauto()
40 {
41     n=0,cnt=0,tot=0;
42     re(n);
43     for(int i=1;i<=n;i++)
44     {
45         int x=0,y=0,z=0;
46         re(x),re(y),re(z);
47         node[i].p=x,node[i].q=y,node[i].op=z;
48         a[++cnt]=x,a[++cnt]=y;
49     }
50     discrete();
51     for(int i=1;i<=n;i++)
52     {
53         node[i].p=query(node[i].p);
54         node[i].q=query(node[i].q);
55     }
56     for(int i=1;i<=tot;i++) fa[i]=i;
57     for(int i=1;i<=n;i++)
58         if(node[i].op==1) merge(node[i].p,node[i].q);
59     for(int i=1;i<=n;i++)
60     {
61         if(node[i].op==0)
62         {
63             if(getf(node[i].p)==getf(node[i].q))
64             {
65                 printf("NO
");
66                 return;
67             }
68         }
69     }
70     printf("YES
");
71 }
72 int main()
73 {
74     re(t);
75     while(t--)
76      analyauto();
77     return 0;
78  } 

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小结：并查集，在一张无向图中维护节点之间的连通性比较优秀，擅长动态维护许多有传递性的关系。

（还是lyd老师说的）

 

例题2 NOI2002银河英雄传说

LVYOUYW：神舟是哪年发射的来着？03？杨威利这个名字吼啊，莫非CCF提前一年已经知道了航天员杨利伟的名字？

2333...杨威利是真的存在的日本动漫《银河英雄传说》的主角...

学长您不会被打嘛...

 

扯淡结束

 

如果说并查集只是记录了集合的位置关系，那么在一些有权值的题目背景下，仅一个普通并查集维护关系貌似不太够用，我们还另需要一些数组来记录权值，本题就是这样。

我们可以维护一个数组d,用d[x]保存节点x到祖先节点fa[x]之间的边权。在路径压缩的同时，我们可以同时更新信息。

再用一个size[]在每个树根上记录集合大小，就能O（1）地进行查询。

code

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cmath> 
 4 
 5 using namespace std;
 6 
 7 int T;
 8 int fa[40000],d[40000],size[40000];
 9 char ch;
10 
11 int getf(int p)
12 {
13     if(p==fa[p]) return p;
14     int root=getf(fa[p]);
15     d[p]+=d[fa[p]];
16     return fa[p]=root;
17 }
18 
19 void merge(int p,int q)
20 {
21     int pp=getf(p);
22     int qq=getf(q);
23     fa[pp]=qq;
24     d[pp]=size[qq];
25     size[qq]+=size[pp];
26 }
27 
28 int main()
29 {
30     for(int i=1;i<=30005;i++) fa[i]=i,size[i]=1;
31     scanf("%d",&T);
32     ch=getchar();ch=getchar();
33     while(T--)
34     {
35         int x=0,y=0;
36         ch=getchar();
37         if(ch==‘M‘)
38         {
39             scanf("%d%d",&x,&y);
40             merge(x,y);
41         }
42         if(ch==‘C‘)
43         {
44             scanf("%d%d",&x,&y);
45             if(getf(x)!=getf(y))
46             {
47                 printf("-1
");
48                 ch=getchar();ch=getchar();
49                 continue;
50             }
51         //    printf("%d %d
",d[x],d[y]);
52         //    printf("%d
",abs(d[x]-d[y]));
53             printf("%d
",abs(d[x]-d[y])-1);
54         }
55         ch=getchar();ch=getchar();
56     }
57     return 0;
58 }

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例题3 NOI2001 食物链

在我刚学并查集的时候，我用裸并查集骗了20分......

这种并查集，被lyd老师称为‘扩展域’，被学长称作“种类并查集”

当时他说这个偏移量的设计真是 妙 啊！

关于种类并查集，引用一位大神的话：“和基础并查集有很大一部分相同， 多了一个判断2个元素是否属于同一个集团（不是集合， 集合是用来判断2个元素是否能够判断他们属不属于同一个集团：有点绕， 举个例子， 假如知道1和2在不同的集团， 3和4在不同集团，我们就不能判断1和3是否属于一个集团，而集合是用来判断他们是否在同一个集团假如：已知1和2在不同集合，2和3在不同集合， 那么我们就知道1和3在同一个集合）；”  @Sky_sys，讲的很透彻

因为我在luogu看题解的时候，没有一个人跳出来解释原始的并查集作用是什么，看的我一脸mengbi。这下可是懂了。

于是，我们用一个数组flag[i]记录，表示i的祖先到i的偏移量，每次读入一句话，先看话中涉及的两动物是否在同一集合内，只有在同一集合内，才有可能继续判断；如果不在，我们先把它合并，假设当前这句话是对的。

合并的时候怎么搞？我们还是上一张图。

路径压缩的处理那里自己xjb推一下就好。记得取模！

code

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 
 4 using namespace std;
 5 
 6 int n,k,ans;
 7 int fa[50090],flag[50090];
 8 
 9 int getf(int x)
10 {
11     if(x==fa[x]) return x;
12     int tmp=fa[x];
13     fa[x]=getf(fa[x]);
14     flag[x]=(flag[tmp]+flag[x])%3;
15     return fa[x];
16 }
17 
18 int main()
19 {
20     scanf("%d%d",&n,&k);
21     for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
22     while(k--)
23     {
24         int ops=0,a=0,b=0;
25         scanf("%d%d%d",&ops,&a,&b);
26         if(a>n||b>n)
27         {
28             ans++;
29             continue;
30         }
31         if(ops==2&&a==b)
32         {
33             ans++;
34             continue;
35         }
36         int p=getf(a);
37         int q=getf(b);
38         if(p==q)
39         {
40             if((flag[b]-flag[a]+3)%3==ops-1) continue;
41             else ans++;
42         }
43         else//merge
44         {
45             flag[q]=(3+ops-1+flag[a]-flag[b])%3;
46             fa[q]=p;
47         }
48     }
49     printf("%d",ans);
50     return 0;
51 }

View Code

 

 

本文就要结束了，可是对于并查集，本蒟感觉还没有更深入理解qwq。所以过几天再刷几道题吧！qwq