欧几里得算法和扩欧

Posted 2020-12-26 ullio

7.31.2018修改

欧几里得算法

概念

在数学中,辗转相除法,又称欧几里得算法(英语：Euclidean algorithm),是求最大公约数的算法.
辗转相除法基于如下原理:两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数.
两个数的最大公约数通常写成GCD(a, b),或者简写成(a, b)
(引自wikipidia)

实现

用伪代码描述

//gcd(x,y)
//(x>=y>0)
while x!=0&&y!=0
    z=x
    x=x mod y
    y=z

最后非零的就是要求的最大公约数了
而在实际编程中,可以选择递归或者递推实现(我选择递归0-0)
这是递归代码(cpp)

int gcd(int x,int y) {
    if(y) {
        return gcd(y,x%y);
    }
    return x;
}
//你也可以选择这么写=v=
int gcd(int x,int y) {return y==0?x:gcd(y,x%y);}

证明(gcd left( x,y ight) =gcd left( y,x\\% y ight))((gcd left( x,y ight))已知)

1.

设(x=ay+r)
设(d=gcdleft( x,y ight)),(e=gcd left( y,r ight))
因为a为整数,x,y可以被d整除
所以,r可以被d整除
所以e只可能大于等于d
假设e大于d
因为有(x=ay+r),且a为整数,y,r可以被e整除
推出x可以被e整除
与已知矛盾
所以e==d
得证

扩展欧几里得算法

概念

扩展欧几里得算法（英语：Extended Euclidean algorithm）是欧几里得算法（又叫辗转相除法）的扩展。已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满足贝祖等式
(ax + by = gcd left(a, b ight))。
(引自wikipidia)

实现&证明(求解和证明(ax+by=gcd left( a,b ight)))

(注意接下来的除法,均为舍去小数点后的整除)
对于 (a\\%b) ,我们可以用(a-left( a/b ight) ast c) 去替代
那么考虑gcd中的一步 (gcd left( m,n ight)) 和下一步 (gcd left( n,m\\%n ight))
假设有(nx+left( n\\% m ight) y= gcd left( m,n ight))
请思考上述方程与 $ mx_{1} + ny_{1} = gcd left( m , n ight) $ 之间的关系
...........................................
(ecause a\\%b = a - left( a / b ight) ast b)
( herefore nx+left( n\\% m ight) y=nx+my-left( m/n ight) ny=my+nleft( x-left( m/n ight) ast y ight))
$ herefore egin{cases} x_{1} = y y_{1} = x - left( m / n ight) ast y end{cases} $
就这样,我们通过一组现解得到了它之前的一组解
那如果知道了最后一步的方程的解,不就可以逆推回初始方程的解了吗....
............................................
考虑求解 $ gcd left(a,b ight) $ 时的最后一步(即b为0时)
有$gcd left(a,b ight) = gcdleft(m,0 ight) = m $
考虑方程 $ mx + 0y = gcdleft(a,b ight) $ ,它的一个可行解为 $ egin{cases}x=1 y=1end{cases} $
然后我们就得到了我们需要的一组解,接下来就是逆推的过程了
好了,逆推的过程在求gcd时可以一起完成

题目不难,留给读者自行思考
(摘自算法导论)

int exGCD(int a,int b,int&x,int&y) {
    if(b==0) {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exGCD(b,a%b,x,y);
    int x1=y;
    y=x-(a/b)*y;
    x=x1;
}

之后

这里就是各种乱搞的地方啦

1.证明当 $ a_{i} $ 和 $ x_{i} $ 均为整数时, $ a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + ldots +a_{n}x_{n} $的值一定为 $ gcd left( a_{1},a_{2}, ldots ,a_{n} ight)$的整数倍

假设 $ a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + ldots +a_{n}x_{n} = varphi $ 且 $ varphi $ 不为$ gcd left( a_{1},a_{2}, ldots ,a_{n} ight)$的整数倍
对上式两边同除以 $ gcd left( a_{1},a_{2}, ldots ,a_{n} ight)$ ,显然左边为一个整数
又因为右边不为一个整数,与等式矛盾
所以 $ varphi $ 为$ gcd left( a_{1},a_{2}, ldots ,a_{n} ight)$的整数倍

CF1010C