扩展欧几里得(模板)

Posted 2020-12-26 moomcake

 

扩展欧几里德算法：

    谁是欧几里德？自己百度去

    先介绍什么叫做欧几里德算法

    有两个数 a b，现在，我们要求 a b 的最大公约数，怎么求？枚举他们的因子？不现实，当 a b 很大的时候，枚举显得那么的naïve ，那怎么做？

    欧几里德有个十分又用的定理： gcd(a, b) = gcd(b , a%b) ，这样，我们就可以在几乎是 log 的时间复杂度里求解出来 a 和 b 的最大公约数了，这就是欧几里德算法，用 C++ 语言描述如下：

    

 

    由于是用递归写的，所以看起来很简洁，也很好记忆。那么什么是扩展欧几里德呢？

    现在我们知道了 a 和 b 的最大公约数是 gcd ，那么，我们一定能够找到这样的 x 和 y ，使得: a*x + b*y = gcd 这是一个不定方程（其实是一种丢番图方程），有多解是一定的，但是只要我们找到一组特殊的解 x0 和 y0 那么，我们就可以用 x0 和 y0 表示出整个不定方程的通解：

        x = x0 + (b/gcd)*t

        y = y0 – (a/gcd)*t

    为什么不是：

        x = x0 + b*t

        y = y0 – a*t

    这个问题也是在今天早上想通的，想通之后忍不住喷了自己一句弱逼。那是因为：

    b/gcd 是 b 的因子， a/gcd 是 a 的因子是吧？那么，由于 t的取值范围是整数，你说 (b/gcd)*t 取到的值多还是 b*t 取到的值多？同理，(a/gcd)*t 取到的值多还是 a*gcd 取到的值多？那肯定又要问了，那为什么不是更小的数，非得是 b/gcd 和a/gcd ？

    注意到：我们令 B = b/gcd ， A = a、gcd ， 那么，A 和 B 一定是互素的吧？这不就证明了 最小的系数就是 A 和 B 了吗？要是实在还有什么不明白的，看看《基础数论》（哈尔滨工业大学出版社），这本书把关于不定方程的通解讲的很清楚

    现在，我们知道了一定存在 x 和 y 使得 ： a*x + b*y = gcd ， 那么，怎么求出这个特解 x 和 y 呢？只需要在欧几里德算法的基础上加点改动就行了。

    我们观察到：欧几里德算法停止的状态是： a= gcd ， b = 0 ，那么，这是否能给我们求解 x y 提供一种思路呢？因为，这时候，只要 a = gcd 的系数是 1 ，那么只要 b 的系数是 0 或者其他值（无所谓是多少，反正任何数乘以 0 都等于 0 但是a 的系数一定要是 1），这时，我们就会有： a*1 + b*0 = gcd

    当然这是最终状态，但是我们是否可以从最终状态反推到最初的状态呢？

    假设当前我们要处理的是求出 a 和 b的最大公约数，并求出 x 和 y 使得 a*x + b*y= gcd ，而我们已经求出了下一个状态：b 和 a%b 的最大公约数，并且求出了一组x1 和y1 使得： b*x1 + (a%b)*y1 = gcd ， 那么这两个相邻的状态之间是否存在一种关系呢？

    我们知道： a%b = a - (a/b)*b（这里的 “/” 指的是整除，例如 5/2=2 , 1/3=0），那么，我们可以进一步得到：

        gcd = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1

            = b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1

            = a*y1 + b*(x1 – a/b*y1)

    对比之前我们的状态：求一组 x 和 y 使得：a*x + b*y = gcd ，是否发现了什么？这里：

        x = y1

        y = x1 – a/b*y1

    以上就是扩展欧几里德算法的全部过程，依然用递归写：

 1 #include <iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<deque>
 5 #include<stack>
 6 #include<algorithm>
 7 typedef long long ll;
 8 using namespace std;
 9 void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
10 {
11     if(b==0)
12     {
13         x=1;
14         y=0;
15         return ;
16     }
17     exgcd(b,a%b,x,y);
18     ll t=x;
19     x=y;
20     y=t-(a/b)*y;
21 }
22 int main()
23 {
24     ll m,n,x,y,ans;
25     scanf("%lld%lld",&m,&n);
26     exgcd(m,n,x,y);
27     while(x<0)
28     {
29         x+=n;
30     }
31     printf("%lld
",x);
32     return 0;
33 }

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