Dijkstra

Posted 2020-12-26 chiweiming

原创

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　　Dijkstra算法用于求最短路径。

　　

　　用邻接矩阵存储图，若求1到其余顶点的最短路径，用数组dis存储1到其余顶点的最短路径。

　　dis初始化即顶点1到其余顶点的初始距离，不直接相连的即为无穷大，上图中dis初始化为0/15/10/16/30。

　　接下来从数组dis中选出一个最小值，上图中为10（0为到自身的距离），则1到3的最短距离即为10，理解

这一点很重要，因为与1直接相连的点中距离最小的顶点是3，距离是10，若通过其余顶点其余路径到达3，距离

都会大于10，所以1到顶点3的最短路径已经确认了，以后无需更新。

　　确认了这条最短路径，比较好好利用它，看看1通过这条最短路径能不能缩短1到其余顶点的距离，比如上图

中1到5的距离为30，但是通过最短路径1到3再到5就能缩短1都5的距离，其余边也要一一判断缩小，此过程称为“松弛”。

　　Dijkstra求最短路径的基本步骤如下：

　　1.　　将所有的顶点分为两部分：已知最短路径的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q。最开始，已知最短路径

　　　　的顶点集合P中只有源点一个顶点。我们这里用一个book数组来记录哪些点在集合P中。例如对于某个顶点i，如

　　　　果book[i]为1则表示这个顶点在集合P中，反之，则在集合Q中。

　　2.　　设置源点s到自己的最短路径为0即dis[s]=0.若存在有源点能直接到达的顶点i，则把dis[i]设为matrix[s][i],

　　　　matrix为邻接矩阵。同时把所有其他（源点不能直接到达的）顶点的最短路径设为∞。

　　3.　　在集合Q的所有顶点中选择一个离源点s最近的顶点u（即dis[u]最小）加入到集合P中。并考察所有以点u为起点的边，

　　　　对每一条边进行松弛操作。例如存在一条从u到v的边，那么可以通过将边u-v添加到尾部来拓展一条从s到v的路径，这

　　　　条路径的长度是dis[u]+e[u][v]。如果这个值比目前已知的dis[v]的值要小，我们可以用新值来替代当前dis[v]中的值。

　　4.　　重复第3步，如果集合Q为空，算法结束。最终dis数组中的值就是源点到所有顶点的最短路径。

 1 import java.util.*;
 2 
 3 public class Dijkstra {
 4     
 5     static int v;    //顶点
 6     static int e;    //边
 7     static int aim;    //aim与其余顶点的最短路径
 8     static int matrix[][];    //邻接矩阵
 9     static int book[];    //标记数组
10     static int dis[];    //存储与其他顶点的距离
11     static int min=99999;
12     static int inf=99999;
13 
14     public static void main(String[] args) {
15         Scanner reader=new Scanner(System.in);
16         v=reader.nextInt();
17         e=reader.nextInt();
18         aim=reader.nextInt();
19         matrix=new int[v+1][v+1];    //从1开始编号
20         book=new int[v+1];
21         dis=new int[v+1];
22         //矩阵初始化
23         for(int i=1;i<=v;i++) {
24             book[i]=0;
25             for(int j=1;j<=v;j++) {
26                 if(i==j) {
27                     matrix[i][j]=0;
28                 }
29                 else {
30                     matrix[i][j]=inf;
31                 }
32             }
33         }
34         book[aim]=1;    //求aim到其余顶点的距离
35         //读入边
36         for(int i=1;i<=e;i++) {
37             int first_City=reader.nextInt();
38             int second_City=reader.nextInt();
39             int value=reader.nextInt();
40             matrix[first_City][second_City]=value;    //有向图
41         }
42         //数组dis初始化
43         for(int i=1;i<=v;i++) {
44             dis[i]=matrix[aim][i];
45         }
46         for(int i=1;i<=v-1;i++) {    //循环v-1次，每次确认一个顶点
47             int u=-1;
48             min=inf;
49             //寻找距离aim最近的点
50             for(int j=1;j<=v;j++) {
51                 if(book[j]==0 && dis[j]<min) {
52                     min=dis[j];
53                     u=j;
54                 }
55             }
56             if(u==-1) {
57                 break;
58             }
59             book[u]=1;    //确认顶点u
60             //松弛
61             for(int z=1;z<=v;z++) {
62                 if(matrix[u][z]<inf) {
63                     if(dis[z]>dis[u]+matrix[u][z]) {    //更新距离
64                         dis[z]=dis[u]+matrix[u][z];
65                     }
66                 }
67             }
68         }
69         for(int i=1;i<=v;i++) {
70             System.out.print(dis[i]+" ");
71         }
72     }
73 
74 }

14:32:02

2018-07-29