UVALive - 6436 —（DFS+思维）

Posted 2020-12-26 tuyang1129

 

题意：n个点连成的生成树（n个点，n-1条边，点与点之间都连通），如果某个点在两点之间的路径上，那这个点的繁荣度就+1，问你在所有点中，最大繁荣度是多少？就比如上面的图中的C点，在A-B，A-D，A-E，A-F,B-D，B-E，B-F的路径上，所以繁荣度为7。

 

思路：我们可以想一下，繁荣度是怎么来的？假设一个点的度是2，相当于以这个点为根，有两棵子树，那繁荣度就是这两棵子树上各取一个点两两组合，最后的结果就是两棵子树上的点的乘积。所以不难推出，若度大于2，那繁荣度就是所有子树上的点树两两相乘的和，例如上图的C点，度为3，且3个度包含的点的个数分别为1，1，3，繁荣度 = 1*1 + 1*3 + 1*3 = 7。

然而，这样的计算方式复杂度有点高，若度为n，光计算繁荣度就要O（n*n），更何况这只是一个点的繁荣度。所以，我们还可以简化一下计算方式：

计算出每一棵子树的点的个数，用每个子树的点的个数乘以除了这棵子树以及根节点以外剩余的点，，每棵子树都这样计算，并将结果相加，求出的和除以2，就是结果。

因为这样的计算方式和之前相比，相当于两两之间都乘了两次，子树1*所有子树的和（除自己） = 子树1*子树2* + 子树1*子树3 + .....  + 子树1*子树n， 子树2*所有子树的和（除自己） = 子树2*子树1 + 子树2*子树3 + ... + 子树2*子树n；这之中，子树1*子树2 ，又子树2*1子树，计算了两次，所以最终结果要除以2。

我们可以将整个图看成一颗以节点1为根的树，这样将会简化很多。除此之外，还可以使用链式前向星，记录下某个点于那些点直接相连。

 

具体看代码：

 

 1 #include<iostream> 
 2 #include<cstring>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<string>
 5 #include<cmath>
 6 #include<algorithm>
 7 #include<stack>
 8 #include<climits>
 9 #include<queue>
10 #define eps 1e-7
11 #define ll long long
12 #define inf 0x3f3f3f3f
13 #define pi 3.141592653589793238462643383279
14 using namespace std;
15 const int maxn = 20007;
16 int head[maxn],num,n;
17 ll ans,sum,size[maxn];
18 struct node{
19     int to,next;
20 }edge[maxn<<1];
21 
22 void add(int u,int v) //使用链式前向星计算每个点于那些点直接相连 
23 {
24     edge[num].to = v;
25     edge[num].next = head[u];
26     head[u] = num++;
27 }
28 
29 void DFS(int u,int fa) //将整个图看成一棵树，u为当前节点，fa为父亲节点 
30 {
31     ll res = 0;
32     size[u] = 1; //size[u]表示以u为根的树有多少个节点 
33     for(int i=head[u]; i!=-1; i=edge[i].next) //遍历所有子树 
34     {
35         int to = edge[i].to;
36         if(to == fa) continue; //不计算父亲节点 
37         DFS(to,u);  
38         size[u] += size[to]; //以u为根的树的节点总数等于他所有子树的节点树之和 
39         res += (n - size[to] - 1)*size[to]; //计算子树与其他剩余点的乘积 
40     }
41     res += ( n - size[u] )*(size[u]-1); //除所有子树外，u的根节点连成的树也是以u为根的一课子树 
42     ans = max(ans,res/2);
43     return;
44 }
45 
46 int main()
47 {
48     int t,cnt = 1;
49     cin>>t;
50     while(t--)
51     {
52         ans = -1;
53         num = 0;
54         memset(head,-1,sizeof(head));
55         memset(size,0,sizeof(size));
56         scanf("%d",&n);
57         int start,end;
58         for(int i=0; i<n-1; ++i)
59         {
60             scanf("%d%d",&start,&end);
61             add(start,end); //start于end直接相连 
62             add(end,start);//无向图，反过来也相连 
63         }
64         DFS(1,-1);
65         printf("Case #%d: %lld
",cnt++,ans);
66     }
67     return 0;
68 }