数值优化

Posted 2020-12-25 mathematic-offering

线搜索方法

线搜索方法的基本过程都是在每一次迭代中先计算出一个优化方向(p_k),再在这个方向上对目标函数做一维优化，即选取合适的(alpha_k),使(x_{k+1}=x_k+alpha p_k)达到优化目的。一般来说，选取(p_k=-B_k^{--1} abla f_k)，其中(B_k)是一个对称正定矩阵，(B_k)的选取有多种选择，比如在牛顿法中，(B_k)就是Hessian，而在逆牛顿法中，(B_k)是Hessian的近似。由于(p_k=-B_k^{--1} abla f_k),(B_k)正定，可以知道(p_k)确实是下降方向。

搜索步长

定义[Phi(alpha)=f(x_k+alpha p_k) quad alpha >0]步长选取就是该函数的局部最优化问题，对此不需要太高的准确度，不能在这个问题上花费很多时间，所以只需要给出一个差不多的解就可以了。步长搜索过程分为两个阶段--bracketing-phase和bisection(or interpolation)-phase,前者找到一个包含期望步长的区间，后者在这个区间里面计算出一个好的步长。为此，先给搜索步长施加几个要求，首先就是搜索步长需要使得函数下降，但这显然不够，于是还有下面的条件。

Wolfe Condition

充分下降条件
[f(x_k+alpha p_k) leq f(x_k)+c_1alpha abla f_k^T p_k]
示意图:

curvature condition
[ abla f (x_k+alpha_k p_k)^Tp_k geq c_2 abla f_k^T p_k quad 0 < c_1<c_2<1]
示意图:

两个条件合起来称为Wolfe-condition，在实际应用中，(c_1)通常取得比较小，比如(10^{-4})。(c_2)在牛顿和拟牛顿方法中通常取0.9，在共轭梯度法中通常取0.1。
将curvature condition改为[| abla f (x_k+alpha_k p_k)^Tp_k| leq c_2| abla f_k^T p_k|]得到的条件称为strong Wolfe condition
在Wolfe condition和strong Wolfe condition下，满足条件的步长是存在的：

The Goldstein condition

Goldstein condition和Wolfe condition出发点相同，都是在保证充足的下降情况下，又避免搜索步长过小。[f(x_k)+(1-c)alpha_k abla f_k^T p_k leq f(x_k+alpha_k p_k)leq f(x_k)+calpha_k abla f_k^T p_kquad 0<c<frac{1}{2}]Goldstein condition相对于Wolfe condition的缺点是，它的第一个不等式有可能排除了所有极小点。

backtracking

即使只对步长施加充分下降条件，只要适当选取步长，也是可以的，这里就要用到称为backtracking的方法。

在这个过程中，初始步长在牛顿和拟牛顿方法中取为1，在其他方法中可取为不同的值。
## 收敛理论

其中( heta_k)是( abla f_k)与(p_k)的夹角。将这个定理中的wolfe condition换为goldstein 或strong wolfe定理任然成立。

最速下降法

可知最速下降法收敛速度是线性的

牛顿法