Topcoder Srm 673 Div2 1000 BearPermutations2

Posted 2020-12-25 mangoyang

(>Topcoder space Srm space 673 space Div2 space 1000 space BearPermutations2<)

题目大意 : 对于一个长度为 (n) 的排列，定义其的贡献为对其建笛卡尔树，树上有两个儿子的节点其左右儿子在原排列中的距离之和，给出 (n, Mod)，求所有长度为 (n) 的排列的贡献之和对 (Mod) 取模的值

(1 leq n leq 100)

解题思路 :

考虑一个最暴力的 (dp) ，设 (f[i][j][k]) 表示区间 ([i, j]) 的极值在 (k) 上的答案

每次的转移的贡献由两部分组成，其一是划分成的左右区间的答案乘上排列数，其二是左右儿子产生的贡献

第一种贡献十分简单，在此不多做讨论，主要考虑第二种贡献

考虑最暴力的转移，枚举左边的极值的位置 (l), 和最右边的极值 (r) ，那么中间的贡献就是

(sum_{l=i}^{k-1}sum_{k+1}^{j} (k-i-1)! imes(j-k-1)! imes(r - l))

观察发现，无论 (l, r) 的取值是多少，它的排列数都等同于一个位置固定剩下随便排的方案数

也就是说，排列数只和左右区间的大小有关，和极值的具体位置无关

所以我们可以不必在状态中记极值的位置，直接枚举当且区间的极值是什么然后拿划分成的左右区间转移

再回到之前的转移式子，观察发现只要对这个式子稍加变换就能把 (sum) 符号去掉

首先把排列数提出来 ((k-i-1)! imes(j-k-1)! imessum_{l=i}^{k-1}sum_{k+1}^{j} (r - l))

设 $sum(i, j) $ 表示 (i + (i + 1) +..+ j) 的和，这个可以 (O(1)) 计算，把 (sum()) 代入式子得

((k-i-1)! imes(j-k-1)! imes [sum(k+1, j) imes (k - i) - sum(i, k-1) imes (j-k)])

经过基础的推式子之后，我们省去了对极值所在位置的在状态上的记录，并且将枚举左右两个极值位置的 (sum) 消去

所以状态变为 (f[i][j]) 表示所有排列在区间 ([i,j]) 上的答案

转移方程变成了

(f[i][j] = sum_{k=i}^{j} C_{j-i}^{k-1} imes {(f[i][k-1] imes(j-k)!)+(f[k+1][j] imes(k-i)!) + (k-i-1)! imes(j-k-1)! imes [sum(k+1, j) imes (k - i) - sum(i, k-1) imes (j-k)]})

复杂度变成了 (O(n^3))

事实上还可以观察发现，对于大小相同的区间其(f)值是一样，可以记(f_i) 表示长度为 (i) 的区间的答案，枚举其可能的子区间大小转移

这个方程会是一个卷积的形式，所以可以通过 (FFT) 来优化复杂度，不过 (O(n^3)) 的算法已经可以解决此题，这个算法就不过多讨论了

/*program by mangoyang*/
typedef long long ll;
ll f[1005][1005], g[1005][1005], js[1005], Mod, n, ans;
inline ll C(ll n, ll i){ return f[n][i]; }
inline ll sum(ll l, ll r){ return ((l + r) * (r - l + 1) / 2) % Mod; }
inline ll Pow(ll a, ll b){
    ll ans = 1;
    for(; b; b >>= 1, a = a * a % Mod)
        if(b & 1) ans = ans * a % Mod;
    return ans;
}
int BearPermutations2::getSum(int N, int MOD) {
    n = N, Mod = MOD, ans = 0, js[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++) js[i] = js[i-1] * i % Mod;
    memset(f, 0, sizeof(f)), memset(g, 0, sizeof(g));
    for(int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= i; j++) f[i][j] = (f[i-1][j-1] + f[i-1][j]) % Mod;
    for(int i = n; i >= 1; i--)
        for(int j = i; j <= n; j++){
            for(int k = i; k <= j; k++){
                if(k > i) (g[i][j] += C(j - i, k - i) * g[i][k-1] % Mod * js[j-k] % Mod) %= Mod;
                if(k < j) (g[i][j] += C(j - i, k - i) * g[k+1][j] % Mod * js[k-i] % Mod) %= Mod;
                if(k == i || k == j) continue;
                ll tmp = js[k-i-1] * js[j-k-1] % Mod * C(j - i, k - i) % Mod;
                ll now = ((sum(k + 1, j) * (k - i) % Mod) - (sum(i, k - 1) * (j - k) % Mod) + Mod) % Mod;
                g[i][j] = (g[i][j] + now * tmp % Mod) % Mod;
            }
        }
    return g[1][n];
}