[bzoj3505 Cqoi2014] 数三角形 (容斥+数学)

Posted 2020-12-25 menteur-hxy

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Description

给定一个nxm的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。

注意三角形的三点不能共线。

Input

输入一行，包含两个空格分隔的正整数m和n。

Output

输出一个正整数，为所求三角形数量。

Sample Input

2 2

Sample Output

76

HINT

1<=m,n<=1000

Solution

首先思路肯定是随意三个点方案-三点共线方案
随意三个点方案随意求
主要求三点共线：
有个神奇的结论：节点坐标gcd-1 是矩形内的点个数 也就是这个矩形确定两端点的方案数
只要枚举一个矩形大小然后平移什么的就行了
PS：注意特殊情况

Code

//By Menteur_Hxy
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;

LL gcd(LL a,LL b) {return !b?a:gcd(b,a%b);}

int main() {
    LL n,m,t,ans;
    scanf("%lld %lld",&n,&m);
    t=(n+1)*(m+1);
    ans=t*(t-1)*(t-2)/6;
    for(int i=0;i<=n;i++) 
        for(int j=0;j<=m;j++) {
            t=(gcd(i,j)-1);
            if(t<=0) continue;
            t*=(n-i+1)*(m-j+1);
            if(i&&j) ans-=t<<1;
            else ans-=t;//"特殊情况"
        }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}