[总结]一些文化课攒的 $ ext{idea}$

Posted 2020-12-25 navi-awson

1. 设数列 ({a_n}) 满足 (a_1=2,a_2=6) ，且 (a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=2) ，给定 (minmathbb{Z}) ，求 (leftlfloorsumlimits_{i=1}^mfrac{m}{a_i} ight floor) ，用 (m) 表示。
   • 不妨记多项式 (f(n)=a_n) ，注意到 (a_{n+2}-a_{n+1}=2+a_{n+1}-a_n) ，容易发现，我们只需将多项式 (f(n)) 差分 (3) 次便全为 (0) 。显然 (f(n)) 是一个 (2) 次多项式。
   • 可以求出 (a_1=2,a_2=6,a_3=12) ，用拉格朗日插值求出 (f(n)=n(n+1)) 。
   • 那么要求的式子就是 (leftlfloorsumlimits_{i=1}^mfrac{m}{i(i+1)} ight floor) 。
   • 裂项可得 (leftlfloor m imesfrac{m}{m+1} ight floor=m-1) 。