置换群基础概念

Posted 2020-12-22 nebulyu

群

群是一个在定义运算中封闭的集合，群(G=(S,*)),(S)表示群中的元素，(*)是一个定义于(S)中元素的二元运算,且具有以下性质

1.封闭性:(forall p1,p2in G,p1*p2in G)

2.结合律:(p1*(p2*p3)=(p1*p2)*p3)

3.存在单位元:(p*e=e*p=p)

4.存在逆元:(p1*p2=p2*p1=e),(p1,p2)互为逆元,且逆元唯一

特别的，如果G中元素满足交换律，则称其为一个阿贝尔群

群阶:(mid Gmid=mid Smid),集合中元素个数

对于运算(p1*p2),可简写为(p1p2)，(p^k)等价于(Pi_{i=1}^kp)

对于运算(p1*p2=p1*p3),存在(p2=p3)

运算((p1*p2)^{-1})等于(p1^{-1}*p2^{-1})

子群

集合H是G的子集，若H关于(*)封闭，则H称为G的子群

子群存在与全集相同的逆元和单位元

陪集

对于G,它的子群H的左陪集aH定义为({{ahmid hin S}}),右陪集同理

陪集还是一个类似的集合，比如((R,+))的子群((Z,+)),在R中找一个数，比如2，对Z中每一个数+2后形成的新集合，就称为2确定的((R,+))中整数子群的左陪集

现在讨论右陪集的性质，左陪集同理

[Haigcap Hb= egin{cases} Ha& ext{Ha=Hb}\phi& ext{else} end{cases}]

这个性质说明可以将群G划分为一个子群互不相交的集合的并，并可以由此推导出拉格朗日定理

(mid Gmid=mid G:Hmid *mid Hmid),其中(G:H)表示G的子群H的不同右陪集个数