漫画：寻找无序数组的第k大元素

Posted 2020-12-21

漫画：寻找无序数组的第k大元素

本期封面作者：泰勒太乐

————— 第二天 —————

题目是什么意思呢？比如给定的无序数组如下：

如果 k=6，也就是要寻找第6大的元素，这个元素是哪一个呢？

显然，数组中第一大的元素是24，第二大的元素是20，第三大的元素是17 ...... 第6大的元素是9。

方法一：排序法

这是最容易想到的方法，先把无序数组从大到小进行排序，排序后的第k个元素，自然就是数组中的第k大元素。

方法二：插入法

维护一个长度为k的数组A的有序数组，用于存储已知的k个较大的元素。
接下来遍历原数组，每遍历到一个元素，和数组A中最小的元素相比较，如果小于等于数组A的最小元素，继续遍历；如果大于数组A的最小元素，则插入到数组A中，并把曾经的最小元素“挤出去”。

比如k=3，先把最左侧的7,5,15三个数有序放入数组A当中，代表当前最大的三个数。

这时候，遍历到3， 由于3<5，继续遍历。

接下来遍历到17，由于17>5，插入到数组A的合适位置，类似于插入排序，并把原先最小的元素5“挤出去”。

继续遍历原数组，一直遍历到数组的最后一个元素......

最终，数组A中存储的元素是24,20,17，代表着整个数组中最大的3个元素。此时数组A中的最小的元素17就是我们要寻找的第k大元素。

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什么是二叉堆？不太了解的小伙伴可以先看看这一篇：漫画：什么是二叉堆？（修正版）

简而言之，二叉堆是一种特殊的完全二叉树，它包含大顶堆和小顶堆两种形式。

其中小顶堆的特点，是每一个父节点都大于等于自己的子节点。要解决这个算法题，我们可以利用小顶堆的特性。

方法三：小顶堆法
维护一个容量为k的小顶堆，堆中的k个节点代表着当前最大的k个元素，而堆顶显然是这k个元素中的最小值。
遍历原数组，每遍历一个元素，就和堆顶比较，如果当前元素小于等于堆顶，则继续遍历；如果元素大于堆顶，则把当前元素放在堆顶位置，并调整二叉堆（下沉操作）。
遍历结束后，堆顶就是数组的最大k个元素中的最小值，也就是第k大元素。

假设k=5，具体的执行步骤如下：

1.把数组的前k个元素构建成堆。

2.继续遍历数组，和堆顶比较，如果小于等于堆顶，则继续遍历；如果大于堆顶，则取代堆顶元素并调整堆。

遍历到元素2，由于 2<3，所以继续遍历。

遍历到元素20，由于 20>3，20取代堆顶位置，并调整堆。

遍历到元素24，由于 24>5，24取代堆顶位置，并调整堆。

以此类推，我们一个一个遍历元素，当遍历到最后一个元素8的时候，小顶堆的情况如下：

3.此时的堆顶，就是堆中的最小值，也就是数组中的第k大元素。

这个方法的时间复杂度是多少呢？

1.构建堆的时间复杂度是 O（k）
2.遍历剩余数组的时间复杂度是O（n-k）
3.每次调整堆的时间复杂度是 O（logk）

其中2和3是嵌套关系，1和2,3是并列关系，所以总的最坏时间复杂度是O（（n-k）logk + k）。当k远小于n的情况下，也可以近似地认为是O（nlogk）。

这个方法的空间复杂度是多少呢？

刚才我们在详细步骤中把二叉堆单独拿出来演示，是为了便于理解。但如果允许改变原数组的话，我们可以把数组的前k个元素“原地交换”来构建成二叉堆，这样就免去了开辟额外的存储空间。

因此，方法的空间复杂度是O（1）。

/**

* 寻找第k大的元素
* @param array ?待调整的堆

* @param k ?第几大

*/

public static int findNumberK(int[] array, int k){

? ?//1.用前k个元素构建小顶堆

? ?buildHeap(array, k);

? ?//2.继续遍历数组，和堆顶比较

? ?for(int i=k; i<array.length;i++){

? ? ? ?if(array[i] > array[0]){

? ? ? ? ? ?array[0] = array[i];

? ? ? ? ? ?downAdjust(array, 0, k);

? ? ? ?}

? ?}

? ?//3.返回堆顶元素

? ?return array[0];

}

/**

* 构建堆

* @param array ?待调整的堆

* @param length ?堆的有效大小
*/

private static void buildHeap(int[] array, int length) {

? ?// 从最后一个非叶子节点开始，依次下沉调整

? ?for (int i = (length-2)/2; i >= 0; i--) {

? ? ? ?downAdjust(array, i, length);

? ?}

}

/**

* 下沉调整

* @param array ? ? 待调整的堆

* @param index ? ?要下沉的节点

* @param length ? ?堆的有效大小

*/

private static void downAdjust(int[] array, int index, int length) {

? ?// temp保存父节点值，用于最后的赋值

? ?int temp = array[index];

? ?int childIndex = 2 * index + 1;

? ?while (childIndex < length) {

? ? ? ?// 如果有右孩子，且右孩子小于左孩子的值，则定位到右孩子

? ? ? ?if (childIndex + 1 < length && array[childIndex + 1] < array[childIndex]) {

? ? ? ? ? ?childIndex++;
?// 如果父节点小于任何一个孩子的值，直接跳出

? ? ? ?if (temp <= array[childIndex])

? ? ? ? ? ?break;

? ? ? ?//无需真正交换，单向赋值即可

? ? ? ?array[index] = array[childIndex];

? ? ? ?index = childIndex;

? ? ? ?childIndex = 2 * childIndex + 1;

? ?}

? ?array[index] = temp;

}

public static void main(String[] args) {

? ?int[] array = new int[] {7,5,15,3,17,2,20,24,1,9,12,8};

? ?System.out.println(findNumberK(array, 5));

方法四：分治法

大家都了解快速排序，快速排序利用分治法，每一次把数组分成较大和较小的两部分。
我们在寻找第k大元素的时候，也可以利用这个思路，以某个元素A为基准，把大于于A的元素都交换到数组左边，小于A的元素都交换到数组右边。

比如我们选择以元素7作为基准，把数组分成了左侧较大，右侧较小的两个区域，交换结果如下：

包括元素7在内的较大元素有8个，但我们的k=5，显然较大元素的数目过多了。于是我们在较大元素的区域继续分治，这次以元素12位基准：

这样一来，包括元素12在内的较大元素有5个，正好和k相等。所以，基准元素12就是我们所求的。

这就是分治法的大体思想，这种方法的时间复杂度甚至优于小顶堆法，可以达到O（n）。有兴趣的小伙伴可以尝试用代码实现一下。

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