漫画:Dijkstra 算法的优化

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了漫画:Dijkstra 算法的优化相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

漫画:Dijkstra 算法的优化

在上一篇漫画中,小灰介绍了单源最短路径算法 Dijkstra,没看过的小伙伴可以看下:
漫画:图的 “最短路径” 问题

漫画中我们遗留了一个问题:
如何求得最短路径的详细节点,而不仅仅是距离?

在本篇中,我们将会给与解答。
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我们仍然以下面这个带权图为例,找出从顶点A到顶点G的最短距离。
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详细过程如下:

第1步,创建距离表和前置顶点表。
距离表的Key是顶点名称,Value是从起点A到对应顶点的已知最短距离,默认为无穷大;前置顶点表的Key是顶点名称,Value是从起点A到对应顶点的已知最短路径的前置定点。
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第2步,遍历起点A,找到起点A的邻接顶点B和C。从A到B的距离是5,从A到C的距离是2。把这一信息刷新到距离表当中。
同时,顶点B、C的前置顶点都是A,顶点A在邻接表中下标是0,所以把前置顶点表的B、C值更新为0:

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第3步,从距离表中找到从A出发距离最短的点,也就是顶点C。

第4步,遍历顶点C,找到顶点C的邻接顶点D和F(A已经遍历过,不需要考虑)。从C到D的距离是6,所以A到D的距离是2+6=8;从C到F的距离是8,所以从A到F的距离是2+8=10。把这一信息刷新到表中。
同时,顶点D、F的前置顶点都是C,顶点C在邻接表中下标是2,所以把前置顶点表的D、F值更新为2:
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接下来重复第3步、第4步所做的操作:

第5步,也就是第3步的重复,从距离表中找到从A出发距离最短的点(C已经遍历过,不需要考虑),也就是顶点B。

第6步,也就是第4步的重复,遍历顶点B,找到顶点B的邻接顶点D和E(A已经遍历过,不需要考虑)。从B到D的距离是1,所以A到D的距离是5+1=6,小于距离表中的8;从B到E的距离是6,所以从A到E的距离是5+6=11。把这一信息刷新到表中。
同时,顶点D、E的前置顶点都是B,顶点B在邻接表中下标是1,所以把前置顶点表的D、E值更新为1:
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第7步,从距离表中找到从A出发距离最短的点(B和C不用考虑),也就是顶点D。

第8步,遍历顶点D,找到顶点D的邻接顶点E和F。从D到E的距离是1,所以A到E的距离是6+1=7,小于距离表中的11;从D到F的距离是2,所以从A到F的距离是6+2=8,小于距离表中的10。把这一信息刷新到表中。
同时,顶点E、F的前置顶点都是D,顶点D在邻接表中下标是3,所以把前置顶点表的E、F值更新为3:
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第9步,从距离表中找到从A出发距离最短的点,也就是顶点E。

第10步,遍历顶点E,找到顶点E的邻接顶点G。从E到G的距离是7,所以A到G的距离是7+7=14。把这一信息刷新到表中。
同时,顶点G的前置顶点是E,顶点E在邻接表中下标是4,所以把前置顶点表的G值更新为4:
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第11步,从距离表中找到从A出发距离最短的点,也就是顶点F。

第12步,遍历顶点F,找到顶点F的邻接顶点G。从F到G的距离是3,所以A到G的距离是8+3=11,小于距离表中的14。把这一信息刷新到表中:
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就这样,除终点以外的全部顶点都已经遍历完毕,距离表中存储的是从起点A到所有顶点的最短距离,而前置定点存储的是从起点A到所有顶点最短路径的前置顶点。
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如何把前置顶点表“翻译”成图的最短路径呢?我们可以使用回溯法,自后向前回溯:

第1步,找到图的终点G,它是最短路径的终点:
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第2步,通过前置定点表找到顶点G对应的前置下标5,在顶点数组中找到下标5对应的顶点F,它是顶点G的前置顶点:
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第3步,通过前置定点表找到顶点F对应的前置下标3,在顶点数组中找到下标3对应的顶点D,它是顶点F的前置顶点:
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第4步,通过前置定点表找到顶点D对应的前置下标1,在顶点数组中找到下标1对应的顶点B,它是顶点D的前置顶点:
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第5步,通过前置定点表找到顶点B对应的前置下标0,在顶点数组中找到下标0对应的顶点A,它是顶点B的前置顶点:
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如此一来,我们把前置顶点表(0,0,1,3,3,5)转化成了最短路径(A-B-D-F-G)。
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/**
* Dijkstra最短路径算法
*/
public static int[] dijkstra(Graph graph, int startIndex) {
//图的顶点数量
int size = graph.vertexes.length;

//创建距离表,存储从起点到每一个顶点的临时距离
int[] distances = new int[size];
//创建前置定点表,存储从起点到每一个顶点的已知最短路径的前置节点
int[] prevs = new int[size];
//记录顶点遍历状态
boolean[] access = new boolean[size];
//初始化最短路径表,到达每个顶点的路径代价默认为无穷大
for(int i=0; i<size; i++){
distances[i] = Integer.MAX_VALUE;
//遍历起点,刷新距离表
access[0] = true;
List<Edge> edgesFromStart = graph.adj[startIndex];
for(Edge edge : edgesFromStart)
distances[edge.index] = edge.weight;
prevs[edge.index] = 0;
//主循环,重复 遍历最短距离顶点和刷新距离表 的操作
for(int i=1; i<size; i++)
{
//寻找最短距离顶点
int minDistanceFromStart = Integer.MAX_VALUE;
int minDistanceIndex = -1;
for(int j=1; j<size; j++)
{
if(!access[j] && distances[j] < minDistanceFromStart)
{
minDistanceFromStart = distances[j];
minDistanceIndex = j;

}
}
if(minDistanceIndex == -1){
break;
}
//遍历顶点,刷新距离表
access[minDistanceIndex] = true;
for(Edge edge : graph.adj[minDistanceIndex])

{
if(access[edge.index]){
continue;
}
int weight = edge.weight;
int preDistance = distances[edge.index];
if(weight != Integer.MAX_VALUE && (minDistanceFromStart+ weight < preDistance))
{
distances[edge.index] = minDistanceFromStart + weight;
prevs[edge.index] = minDistanceIndex;
}
}
}
return prevs;
}
public static void main(String[] args) {
Graph graph = new Graph(7);
initGraph(graph);
int[] prevs = dijkstra(graph, 0);
printPrevs(graph.vertexes, prevs, graph.vertexes.length-1);
}
private static void printPrevs(Vertex[] vertexes, int[] prev, int i){
if(i>0){
printPrevs(vertexes, prev, prev[i]);
}
System.out.println(vertexes[i].data);
}
/**
* 图的顶点
*/
private static class Vertex {
String data;
Vertex(String data) {
this.data = data;
}
}
/**
* 图的边
*/
private static class Edge {
int index
int weight;
Edge(int index, int weight) {
this.index = index;
this.weight = weight;
}
}
/**
* 图
*/
private static class Graph {
private Vertex[] vertexes;
private LinkedList<Edge> adj[];
Graph(int size){
//初始化顶点和邻接矩阵
vertexes = new Vertex[size];
adj = new LinkedList[size];
for(int i=0; i<adj.length; i++){
adj[i] = new LinkedList<Edge>();
}
}
}

private static void initGraph(Graph graph){
graph.vertexes[0] = new Vertex("A");
graph.vertexes[1] = new Vertex("B");
graph.vertexes[2] = new Vertex("C");
graph.vertexes[3] = new Vertex("D");
graph.vertexes[4] = new Vertex("E");
graph.vertexes[5] = new Vertex("F");
graph.vertexes[6] = new Vertex("G");
graph.adj[0].add(new Edge(1, 5));
graph.adj[0].add(new Edge(2, 2));
graph.adj[1].add(new Edge(0, 5));
graph.adj[1].add(new Edge(3, 1));
graph.adj[1].add(new Edge(4, 6));
graph.adj[2].add(new Edge(0, 2));
graph.adj[2].add(new Edge(3, 6));
graph.adj[2].add(new Edge(5, 8));
graph.adj[3].add(new Edge(1, 1));
graph.adj[3].add(new Edge(2, 6));
graph.adj[3].add(new Edge(4, 1));
graph.adj[3].add(new Edge(5, 2));
graph.adj[4].add(new Edge(1, 6));
graph.adj[4].add(new Edge(3, 1));
graph.adj[4].add(new Edge(6, 7));

graph.adj[5].add(new Edge(2, 8));
graph.adj[5].add(new Edge(3, 2));
graph.adj[5].add(new Edge(6, 3));
graph.adj[6].add(new Edge(4, 7));
graph.adj[6].add(new Edge(5, 3));
}

代码中,距离表和前置顶点表都是采用数组存储,这样比较方便。

输出最短路径的时候,代码中采用了递归的方式进行回溯。
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