漫画：Dijkstra 算法的优化

Posted 2020-12-21

漫画：Dijkstra 算法的优化

在上一篇漫画中，小灰介绍了单源最短路径算法 Dijkstra，没看过的小伙伴可以看下：
漫画：图的 “最短路径” 问题

漫画中我们遗留了一个问题：
如何求得最短路径的详细节点，而不仅仅是距离？

在本篇中，我们将会给与解答。

我们仍然以下面这个带权图为例，找出从顶点A到顶点G的最短距离。

详细过程如下：

第1步，创建距离表和前置顶点表。
距离表的Key是顶点名称，Value是从起点A到对应顶点的已知最短距离，默认为无穷大；前置顶点表的Key是顶点名称，Value是从起点A到对应顶点的已知最短路径的前置定点。

第2步，遍历起点A，找到起点A的邻接顶点B和C。从A到B的距离是5，从A到C的距离是2。把这一信息刷新到距离表当中。
同时，顶点B、C的前置顶点都是A，顶点A在邻接表中下标是0，所以把前置顶点表的B、C值更新为0：

第3步，从距离表中找到从A出发距离最短的点，也就是顶点C。

第4步，遍历顶点C，找到顶点C的邻接顶点D和F（A已经遍历过，不需要考虑）。从C到D的距离是6，所以A到D的距离是2+6=8；从C到F的距离是8，所以从A到F的距离是2+8=10。把这一信息刷新到表中。
同时，顶点D、F的前置顶点都是C，顶点C在邻接表中下标是2，所以把前置顶点表的D、F值更新为2：

接下来重复第3步、第4步所做的操作：

第5步，也就是第3步的重复，从距离表中找到从A出发距离最短的点（C已经遍历过，不需要考虑），也就是顶点B。

第6步，也就是第4步的重复，遍历顶点B，找到顶点B的邻接顶点D和E（A已经遍历过，不需要考虑）。从B到D的距离是1，所以A到D的距离是5+1=6，小于距离表中的8；从B到E的距离是6，所以从A到E的距离是5+6=11。把这一信息刷新到表中。
同时，顶点D、E的前置顶点都是B，顶点B在邻接表中下标是1，所以把前置顶点表的D、E值更新为1：

第7步，从距离表中找到从A出发距离最短的点（B和C不用考虑），也就是顶点D。

第8步，遍历顶点D，找到顶点D的邻接顶点E和F。从D到E的距离是1，所以A到E的距离是6+1=7，小于距离表中的11；从D到F的距离是2，所以从A到F的距离是6+2=8，小于距离表中的10。把这一信息刷新到表中。
同时，顶点E、F的前置顶点都是D，顶点D在邻接表中下标是3，所以把前置顶点表的E、F值更新为3：

第9步，从距离表中找到从A出发距离最短的点，也就是顶点E。

第10步，遍历顶点E，找到顶点E的邻接顶点G。从E到G的距离是7，所以A到G的距离是7+7=14。把这一信息刷新到表中。
同时，顶点G的前置顶点是E，顶点E在邻接表中下标是4，所以把前置顶点表的G值更新为4：

第11步，从距离表中找到从A出发距离最短的点，也就是顶点F。

第12步，遍历顶点F，找到顶点F的邻接顶点G。从F到G的距离是3，所以A到G的距离是8+3=11，小于距离表中的14。把这一信息刷新到表中：

就这样，除终点以外的全部顶点都已经遍历完毕，距离表中存储的是从起点A到所有顶点的最短距离，而前置定点存储的是从起点A到所有顶点最短路径的前置顶点。

如何把前置顶点表“翻译”成图的最短路径呢？我们可以使用回溯法，自后向前回溯：

第1步，找到图的终点G，它是最短路径的终点：

第2步，通过前置定点表找到顶点G对应的前置下标5，在顶点数组中找到下标5对应的顶点F，它是顶点G的前置顶点：

第3步，通过前置定点表找到顶点F对应的前置下标3，在顶点数组中找到下标3对应的顶点D，它是顶点F的前置顶点：

第4步，通过前置定点表找到顶点D对应的前置下标1，在顶点数组中找到下标1对应的顶点B，它是顶点D的前置顶点：

第5步，通过前置定点表找到顶点B对应的前置下标0，在顶点数组中找到下标0对应的顶点A，它是顶点B的前置顶点：

如此一来，我们把前置顶点表（0,0,1,3,3,5）转化成了最短路径（A-B-D-F-G）。

/**
* Dijkstra最短路径算法
*/
public static int[] dijkstra(Graph graph, int startIndex) {
//图的顶点数量
int size = graph.vertexes.length;

//创建距离表，存储从起点到每一个顶点的临时距离
int[] distances = new int[size];
//创建前置定点表，存储从起点到每一个顶点的已知最短路径的前置节点
int[] prevs = new int[size];
//记录顶点遍历状态
boolean[] access = new boolean[size];
//初始化最短路径表，到达每个顶点的路径代价默认为无穷大
for(int i=0; i<size; i++){
distances[i] = Integer.MAX_VALUE;
//遍历起点，刷新距离表
access[0] = true;
List<Edge> edgesFromStart = graph.adj[startIndex];
for(Edge edge : edgesFromStart)
distances[edge.index] = edge.weight;
prevs[edge.index] = 0;
//主循环，重复 遍历最短距离顶点和刷新距离表 的操作
for(int i=1; i<size; i++)
{
//寻找最短距离顶点
int minDistanceFromStart = Integer.MAX_VALUE;
int minDistanceIndex = -1;
for(int j=1; j<size; j++)
{
if(!access[j] && distances[j] < minDistanceFromStart)
{
minDistanceFromStart = distances[j];
minDistanceIndex = j;

}
}
if(minDistanceIndex == -1){
break;
}
//遍历顶点，刷新距离表
access[minDistanceIndex] = true;
for(Edge edge : graph.adj[minDistanceIndex])

{
if(access[edge.index]){
continue;
}
int weight = edge.weight;
int preDistance = distances[edge.index];
if(weight != Integer.MAX_VALUE && (minDistanceFromStart+ weight < preDistance))
{
distances[edge.index] = minDistanceFromStart + weight;
prevs[edge.index] = minDistanceIndex;
}
}
}
return prevs;
}
public static void main(String[] args) {
Graph graph = new Graph(7);
initGraph(graph);
int[] prevs = dijkstra(graph, 0);
printPrevs(graph.vertexes, prevs, graph.vertexes.length-1);
}
private static void printPrevs(Vertex[] vertexes, int[] prev, int i){
if(i>0){
printPrevs(vertexes, prev, prev[i]);
}
System.out.println(vertexes[i].data);
}
/**
* 图的顶点
*/
private static class Vertex {
String data;
Vertex(String data) {
this.data = data;
}
}
/**
* 图的边
*/
private static class Edge {
int index
int weight;
Edge(int index, int weight) {
this.index = index;
this.weight = weight;
}
}
/**
* 图
*/
private static class Graph {
private Vertex[] vertexes;
private LinkedList<Edge> adj[];
Graph(int size){
//初始化顶点和邻接矩阵
vertexes = new Vertex[size];
adj = new LinkedList[size];
for(int i=0; i<adj.length; i++){
adj[i] = new LinkedList<Edge>();
}
}
}

private static void initGraph(Graph graph){
graph.vertexes[0] = new Vertex("A");
graph.vertexes[1] = new Vertex("B");
graph.vertexes[2] = new Vertex("C");
graph.vertexes[3] = new Vertex("D");
graph.vertexes[4] = new Vertex("E");
graph.vertexes[5] = new Vertex("F");
graph.vertexes[6] = new Vertex("G");
graph.adj[0].add(new Edge(1, 5));
graph.adj[0].add(new Edge(2, 2));
graph.adj[1].add(new Edge(0, 5));
graph.adj[1].add(new Edge(3, 1));
graph.adj[1].add(new Edge(4, 6));
graph.adj[2].add(new Edge(0, 2));
graph.adj[2].add(new Edge(3, 6));
graph.adj[2].add(new Edge(5, 8));
graph.adj[3].add(new Edge(1, 1));
graph.adj[3].add(new Edge(2, 6));
graph.adj[3].add(new Edge(4, 1));
graph.adj[3].add(new Edge(5, 2));
graph.adj[4].add(new Edge(1, 6));
graph.adj[4].add(new Edge(3, 1));
graph.adj[4].add(new Edge(6, 7));

graph.adj[5].add(new Edge(2, 8));
graph.adj[5].add(new Edge(3, 2));
graph.adj[5].add(new Edge(6, 3));
graph.adj[6].add(new Edge(4, 7));
graph.adj[6].add(new Edge(5, 3));
}

代码中，距离表和前置顶点表都是采用数组存储，这样比较方便。

输出最短路径的时候，代码中采用了递归的方式进行回溯。

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