排序时间复杂度为O(nlogn)的排序算法

Posted 2020-12-18 leduoi

时间复杂度为O(nlogn)的排序算法（归并排序、快速排序）,比时间复杂度O(n2)的排序算法更适合大规模数据排序。

归并排序

归并排序的核心思想

采用“分治思想”，将要排序的数组从中间分成前后两个部分，然后对前后两个部分分别进行排序，再将排序好的两部分合并在一起，这样数组就有序了。

分治是一种解决问题的思想，递归是一种编程技巧，使用递归的技巧就是，先找到递归公式和终止条件，然后将递归公式翻译成递归代码。

归并排序的递推公式和终止条件：

//递归公式
merge_sort(p...r) = mege(merge_sort(p...q),merge_sort(q+1,r));

//终止条件
p >= r,不再继续分解

归并排序代码

public class MergeSort {

    public static void main(String[] args) {
        int[] a = {4, 3, 2, 1, 6, 5};
        mergeSort(a,0,a.length - 1);
        for (int i : a) {
            System.out.println(i);
        }
    }

    public static void mergeSort(int[] a, int p, int r) {
        //终止条件
        if (p >= r) return;

        int q = (r - p) / 2 + p;
        //递归公式
        mergeSort(a, 0, q);
        mergeSort(a, q + 1, r);

        //到这里递归结束，可以假设[0,q],[q + 1,r]已经排好序了
        merge(a, p, q, r);

    }

    private static void merge(int[] a, int p, int q, int r) {
        int i = p;
        int j = q + 1;
        int k = 0;
        int[] temp = new int[r - p + 1];
        while (i <= q && j <= r) {
            if (a[i] <= a[j]) {
                temp[k++] = a[i++];
            } else {
                temp[k++] = a[j++];
            }
        }

        //判断哪个子数字中有数据，判断依据必须是 <=
        int start = i;
        int end = q;
        if (j <= r) {
            start = j;
            end = r;
        }

        //将剩余数据拷贝到临时数组temp中
        while (start <= end) {
            temp[k++] = a[start++];
        }

        //将temp数组中数据[0,r-p]，拷贝至a数组中原来位置
        //可以直接使用数组复制函数
        for (int n = 0; n <= r - p; n++) {
            a[p + n] = temp[n];
        }
    }
}

优化

可以利用哨兵节点对merge方法进行优化，将数组分配两部分，并将Integer.MAX_VALUE添加到每个数组的最后一位，就可以一次性将两个数组中数据全部比较完，不会剩余数据

//优化merge代码
private static void mergeBySentry(int[] a, int p, int q, int r) {
    int[] leftArr = new int[q - p + 2];
    int[] rightArr = new int[r - q + 1];

    for (int i = 0; i <= q - p; i++) {
        leftArr[i] = a[p + i];
    }
    leftArr[q - p + 1] = Integer.MAX_VALUE;

    for (int i = 0; i < r - q; i++) {
        rightArr[i] = a[q + i + 1];
    }
    rightArr[r - q] = Integer.MAX_VALUE;


    int i = 0;
    int j = 0;
    int k = p;
    while (k <= r) {
        if (leftArr[i] <= rightArr[j]) {
            a[k++] = leftArr[i++];
        } else {
            a[k++] = rightArr[j++];
        }
    }
}

稳定性

归并排序是稳定的排序算法，是否稳定取决于合并merge方法，当两个数组有相同数据合并时，可以先将左边的数据先存入temp中，这样就可以保证稳定性

时间复杂度

最好情况、最坏情况，还是平均情况，时间复杂度都是 O(nlogn)。推导过程待补充...

空间复杂度

归并排序不是原地排序算法。

递归代码的空间复杂度并不能像时间复杂度那样累加。刚刚我们忘记了最重要的一点，那就是，尽管每次合并操作都需要申请额外的内存空间，但在合并完成之后，临时开辟的内存空间就被释放掉了。在任意时刻，CPU 只会有一个函数在执行，也就只会有一个临时的内存空间在使用。临时内存空间最大也不会超过 n 个数据的大小，所以空间复杂度是 O(n)

快速排序

快速排序核心思想

对数组p到r进行排序，从数组中从中取出一个数据作为pivot（分区点），将小于pivot的放在左边，大于pivot的放在右边，之后利用分治、递归思想，再对左右两边的数据进行排序，直到区间缩小为1，说明数据有序了

递归公式和终止条件

//递归公式
quick_sort(p...r) = quick_sort(p...q) + quick_sort(q + 1 ... r)  
    
//终止条件
p >= r

快速排序代码

public static void quickSort(int[] a, int n){
    quickSortInternally(a,0,n - 1);
}

private static void quickSortInternally(int[] a,int p, int r){
    if (p >= r) return;

    int q = partition(a, p, r);
    quickSortInternally(a,p,q - 1);
    quickSortInternally(a,q + 1,r);
}

//p:起始位置，r:终止位置
private static int partition(int[] a, int p, int r) {
    //取出中间点
    int pivot = a[r];

    //i、j为双指针，i始终指向大于中间点的第一个元素，j不断遍历数组，最终指向最后一个元素即中间点
    int i = p;
    //比较从p开始，到r-1结束
    for(int j = p; j < r; ++j) {
        //如果小于中间点
        if (a[j] < pivot) {
            if (i == j) {
                //如果i和j相等，说明之前没有大于中间点的元素，i和j都加1
                // j在进行下一轮循环的时候会自动加1，所以在这里只加i
                ++i;
            } else {
                //如果不相等，说明i已经指向第一个大于中间点的元素
                // 需要将小于中间的的a[j]与a[i]交换位置，然后都加1
                int tmp = a[i];
                a[i++] = a[j];
                a[j] = tmp;
            }
        }
    }

    //循环结束，i指向大于中间点a[r]的第一个元素
    //将a[i]与a[r]交换位置
    int tmp = a[i];
    a[i] = a[r];
    a[r] = tmp;

    System.out.println("i=" + i);
    //返回交换后中间点坐标位置
    return i;
}

性能分析

快速排序是原地、不稳定的排序算法，时间复杂度在大部分情况下的时间复杂度都可以做到 O(nlogn)，只有在极端情况下，才会退化到 O(n2)

原地：空间复杂度为O(1)，不需要占用额外存储空间

不稳定：因为分区的过程涉及交换操作，如果数组中有两个相同的元素，比如序列 6，8，7，6，3，5，9，4，在经过第一次分区操作之后，两个 6 的相对先后顺序就会改变。所以，快速排序并不是一个稳定的排序算法

时间复杂度：待补充

思考

O(n) 时间复杂度内求无序数组中的第 K 大元素。比如，4， 2， 5， 12， 3 这样一组数据，第 3 大元素就是 4。

思路：

• 选择数组A[0,n-1]的最后一个元素A[n-1]作为中间点pivot

• 对数组A[0,n-1]原地分区，分为[0,p-1],[p],[p+1,n-1],此时[0,p-1]这个分区中虽然可能无序，但是全部是比中间点小的元素，所以[p]为这群数中的第p+1大元素（下标为p，所以共有p+1个元素，应该是p+1大）

• 比较p+1和K，如果p+1 = K，说明A[p]就是求解元素，如果K > p+1，说明求解元素出现在A[p+1,n-1]中，则按照上面方法递归对A[p+1,n-1]进行分去查找，同理，如果K < p+1，则对A[0,p-1]进行分区查找

时间复杂度：O(n)。第一次分区查找，我们需要对大小为 n 的数组执行分区操作，需要遍历 n 个元素。第二次分区查找，我们只需要对大小为 n/2 的数组执行分区操作，需要遍历 n/2 个元素。依次类推，分区遍历元素的个数分别为、n/2、n/4、n/8、n/16.……直到区间缩小为 1。如果我们把每次分区遍历的元素个数加起来，就是：n+n/2+n/4+n/8+…+1。这是一个等比数列求和，最后的和等于 2n-1。所以，上述解决思路的时间复杂度就为 O(n)。

笨方法：每次取数组中的最小值，将其移动到数组的最前面，然后在剩下的数组中继续找最小值，以此类推，执行 K 次，也可以找到第K大元素。但这种方法的时间复杂度为O(K*n),在K值比较小时，时间复杂度为O(n),当K为n/2或n时，时间复杂度就为O(n2)了

思考2

现在你有 10 个接口访问日志文件，每个日志文件大小约 300MB，每个文件里的日志都是按照时间戳从小到大排序的。你希望将这 10 个较小的日志文件，合并为 1 个日志文件，合并之后的日志仍然按照时间戳从小到大排列。如果处理上述排序任务的机器内存只有 1GB，你有什么好的解决思路，能“快速”地将这 10 个日志文件合并吗