LuoguP5349 幂 分治NTT

Posted 2020-12-18 guangheli

比较神仙的推导.    

求 $sum_{n=0}^{ infty }f(n)r^n$，其中 $f(x)$ 是一个 $m$ 次多项式，$0leqslant r leqslant 1$

显然可以 $f(x)$ 每一个系数的贡献，那么就转化为：  

$(1-r)f_{j}=sum_{j=0}^{m} a_{j} sum_{n=0}^{infty} n^jr^n.$   

令 $s_{j}=sum_{n=0}^{infty} n^jr^n$.       

$(1-r)f_{j}=sum_{n=0}^{infty} n^jr^n-n^jr^{n+1}$

$Rightarrow sum_{n=1}^{infty} [n^j-(n-1)^j] r^n$  

$Rightarrow rsum_{n=0}^{infty} [(n+1)^j-n^j]r^n$ 

二项式展开，得 $rsum_{i=0}^{j-1}inom{j}{i}sum_{n=0}^{infty}n^ir^n$   

然后就可以写成分治 NTT 的形式了：  

$frac{f_{j}}{j!}=sum_{i=0}^{j-1} frac{f_{i}}{i!} frac{r}{(j-i)!(1-r)}$   

其中 $f_{0}=frac{1}{1-r}$

code:    

#include <cstdio>  
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm> 
#define N 100009 
#define ll long long    
#define mod 998244353
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) 
using namespace std;   
int m,V;
int inv[N],fac[N]; 
int A[N<<2],B[N<<2],f[N],g[N],seq[N];  
int qpow(int x,int y) { 
    int tmp=1; 
    for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod) { 
        if(y&1) tmp=(ll)tmp*x%mod; 
    } 
    return tmp; 
}  
int get_inv(int x) { 
    return qpow(x,mod-2); 
}  
void NTT(int *a,int len,int op) { 
    for(int i=0,k=0;i<len;++i) { 
        if(i>k) swap(a[i],a[k]); 
        for(int j=len>>1;(k^=j)<j;j>>=1);  
    }      
    for(int l=1;l<len;l<<=1) { 
        int wn=qpow(3,(mod-1)/(l<<1));  
        if(op==-1) { 
            wn=get_inv(wn); 
        }  
        for(int i=0;i<len;i+=l<<1) { 
            int w=1,x,y;  
            for(int j=0;j<l;++j) { 
                x=a[i+j],y=(ll)a[i+j+l]*w%mod;  
                a[i+j]=(ll)(x+y)%mod;  
                a[i+j+l]=(ll)(x-y+mod)%mod;  
                w=(ll)w*wn%mod;  
            }
        }
    }    
    if(op==-1) {   
        int in=get_inv(len); 
        for(int i=0;i<len;++i) { 
            a[i]=(ll)a[i]*in%mod;  
        }
    }
}
void init() { 
    fac[0]=1,inv[1]=1; 
    for(int i=1;i<N;++i) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;   
    for(int i=2;i<N;++i) { 
        inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;  
    }         
    inv[0]=1;    
    for(int i=1;i<N;++i) { 
        inv[i]=(ll)inv[i-1]*inv[i]%mod;  
    }
}
void solve(int l,int r) { 
    if(l==r) { 
        return; 
    }   
    int mid=(l+r)>>1,lim,s1=0,s2=0; 
    solve(l,mid);  
    for(int i=l;i<=mid;++i) A[s1++]=f[i];   
    for(int i=0;i<=r-l;++i) B[s2++]=g[i];  
    for(lim=1;lim<(s1+s1);lim<<=1);  
    for(int i=s1;i<lim;++i) A[i]=0; 
    for(int i=s2;i<lim;++i) B[i]=0;   
    NTT(A,lim,1),NTT(B,lim,1); 
    for(int i=0;i<lim;++i) A[i]=(ll)A[i]*B[i]%mod;  
    NTT(A,lim,-1); 
    for(int i=mid+1;i<=r;++i) { 
        (f[i]+=A[i-l])%=mod;  
    }   
    for(int i=0;i<lim;++i) A[i]=B[i]=0;  
    solve(mid+1,r); 
} 
int main() { 
    // setIO("input");            
    init(); 
    scanf("%d%d",&m,&V);        
    for(int i=0;i<=m;++i) {
        scanf("%d",&seq[i]); 
    }
    f[0]=get_inv((ll)(1-V+mod)%mod);    
    int in=(ll)V*f[0]%mod;   
    for(int i=1;i<=m;++i) {  
        g[i]=(ll)inv[i]*in%mod;  
    }        
    solve(0,m);  
    for(int i=1;i<=m;++i) { 
        f[i]=(ll)f[i]*fac[i]%mod;  
    }    
    int ans=0; 
    for(int i=0;i<=m;++i) { 
        (ans+=(ll)seq[i]*f[i]%mod)%=mod; 
    }  
    printf("%d
",ans);  
    return 0; 
}