543.二叉树的直径

Posted 2020-12-17 thefatcat

题目描述：

给定一棵二叉树，你需要计算它的直径长度。一棵二叉树的直径长度是任意两个结点路径长度中的最大值。这条路径可能穿过也可能不穿过根结点。

 

示例 :
给定二叉树

返回 3, 它的长度是路径 [4,2,1,3] 或者 [5,2,1,3]。

 

注意：两结点之间的路径长度是以它们之间边的数目表示。

 

思想：深度优先搜索

首先我们知道一条路径的长度为该路径经过的节点数减一，所以求直径（即求路径长度的最大值）等效于求路径经过节点数的最大值减一。

而任意一条路径均可以被看作由某个节点为起点，从其左儿子和右儿子向下遍历的路径拼接得到。

 

如图我们可以知道路径 [9, 4, 2, 5, 7, 8] 可以被看作以 22 为起点，从其左儿子向下遍历的路径 [2, 4, 9] 和从其右儿子向下遍历的路径 [2, 5, 7, 8] 拼接得到。

假设知道对于该节点的左儿子向下遍历经过最多的节点数 L （即以左儿子为根的子树的深度） 和其右儿子向下遍历经过最多的节点数 R（即以右儿子为根的子树的深度），那么以该节点为起点的路径经过节点数的最大值即为 L+R+1 。

记节点node 为起点的路径经过节点数的最大值为 d_node，那么二叉树的直径就是所有节点d_node的最大值减一。

最后的算法流程为：我们定义一个递归函数 depth(node) 计算 d_node，函数返回该节点为根的子树的深度。先递归调用左儿子和右儿子求得它们为根的子树的深度 L 和 R ，则该节点为根的子树的深度即为max(L,R)+1该节点的 d_node值为L+R+1,递归搜索每个节点并设一个全局变量 ans 记录d_node的最大值，最后返回 ans-1 即为树的直径。

 

代码：

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
    int ans;
    int depth(TreeNode* root){   // 访问到空节点了，返回0
        if(root == NULL)
            return 0;
        int L = depth(root->left);   // 左儿子为根的子树的深度
        int R = depth(root->right);  // 右儿子为根的子树的深度
        ans = max(ans,L + R + 1);   // 计算d_node即L+R+1 并更新ans
        return max(L,R) + 1;
    }
public:
    int diameterOfBinaryTree(TreeNode* root) {
        ans = 1;
        depth(root);
        return ans - 1;
    }
};

 复杂度：

• 时间复杂度：O(N)，其中 NN 为二叉树的节点数，即遍历一棵二叉树的时间复杂度，每个结点只被访问一次。
• 空间复杂度：O(Height)，其中 Height 为二叉树的高度。由于递归函数在递归过程中需要为每一层递归函数分配栈空间，所以这里需要额外的空间且该空间取决于递归的深度，而递归的深度显然为二叉树的高度，并且每次递归调用的函数里又只用了常数个变量，所以所需空间复杂度为 O(Height) 。