猜数字大小

Posted 2020-12-17 zhangmora

题目：

我们正在玩一个猜数游戏，游戏规则如下：

我从 1 到 n 之间选择一个数字，你来猜我选了哪个数字。

每次你猜错了，我都会告诉你，我选的数字比你的大了或者小了。

然而，当你猜了数字 x 并且猜错了的时候，你需要支付金额为 x 的现金。直到你猜到我选的数字，你才算赢得了这个游戏。

例如：

n = 10, 我选择了8.

第一轮: 你猜我选择的数字是5，我会告诉你，我的数字更大一些，然后你需要支付5块。
第二轮: 你猜是7，我告诉你，我的数字更大一些，你支付7块。
第三轮: 你猜是9，我告诉你，我的数字更小一些，你支付9块。

游戏结束。8 就是我选的数字。

你最终要支付 5 + 7 + 9 = 21 块钱。

给定 n ≥ 1，计算你至少需要拥有多少现金才能确保你能赢得这个游戏。

解题

这道题要求的是最坏情况下的最好值。如果n=10，先猜7，再依据大小猜9或4，如果猜9再不对，那一定是8或10，花费7+9=16。如果是猜4不对再往下猜也不会超过16，所以如果是n=10，结果是16。因此不能使用二分法，二分法每次只能取中间值mid，这道题里要取到范围内每个值进行比较。

定义一个矩阵dp，让其长宽各+2是为了边界情况。

dp[i][j] 表示从 i 到 j 范围内至少需要多少现金。

对于每一个 i 和 j 的范围，依次对每个数取值，即 k=i~j ，

当猜k时，有两种情况：小于k或大于k，即在i~k-1或k+1~j范围内，

因此比较dp[i][k-1]+k 和 dp[k+1][j]+k 取更大者，再计算下一个k的情况。

将每个k值得到的值比较，最小值为dp[i][j]。

class Solution {
    public int getMoneyAmount(int n) {
        int[][] dp=new int[n+2][n+2];
        for(int i=n;i>0;i--){
            for(int j=i+1;j<=n;j++){
                dp[i][j]=Integer.MAX_VALUE;
                for(int k=i;k<=j;k++){
                    dp[i][j]=Math.min(dp[i][j],Math.max(dp[i][k-1],dp[k+1][j])+k);
                }
            }
        }
        return dp[1][n];
    }
}

类似题目：

扔鸡蛋

你将获得 K 个鸡蛋，并可以使用一栋从 1 到 N  共有 N 层楼的建筑。

每个蛋的功能都是一样的，如果一个蛋碎了，你就不能再把它掉下去。

你知道存在楼层 F ，满足 0 <= F <= N 任何从高于 F 的楼层落下的鸡蛋都会碎，从 F 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。

每次移动，你可以取一个鸡蛋（如果你有完整的鸡蛋）并把它从任一楼层 X 扔下（满足 1 <= X <= N）。

你的目标是确切地知道 F 的值是多少。

无论 F 的初始值如何，你确定 F 的值的最小移动次数是多少？

dp[k][m] 的含义是k个鸡蛋 移动m次最多能够确定多少楼层
dp[k][m] 最多能够确定的楼层数为L
那么我选定第一个扔的楼层之后，我要么碎，要么不碎
这就是把L分成3段
左边是没碎的那段 长度是dp[k][m - 1]
右边是碎的那段 长度是dp[k-1][m - 1] 因为已经碎了一个了
中间是我选定扔的楼层 是1
所以递推公式是
dp[k][m] = dp[k - 1][m - 1] + dp[k][m - 1] + 1

class Solution {
    public int superEggDrop(int K, int N) {
        int[][] dp = new int[K + 1][N + 1];
        for (int m = 1; m <= N; m++) {
            dp[0][m] = 0; // zero egg
            for (int k = 1; k <= K; k++) {
                dp[k][m] = dp[k][m - 1] + dp[k - 1][m - 1] + 1;
                if (dp[k][m] >= N) {
                    return m;
                }
            }
        }
        return N;
    }
}