数论算法模板总结

Posted 2020-10-03

公约数

GCD

LL GCD( LL a,LL b ) 
{
    return b==0?a:GCD(b,a%b);
}

 EX_GCD

LL EX_GCD( LL a,LL b,LL &x,LL &y )//ax+by=gcd(a,b)
{
    LL d=a;
    if( !b ) x=1;y=0;
    else {
        d=EX_GCD(b,a%b,y,x);
        y-=a/b*x;
    }
    return d;//返回最大公因数
}
/*  
    求a * x + b * y = c的整数解。
    1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a‘ * x + b‘ * y = c‘，此时Gcd(a‘,b‘)=1;
    2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a‘ * x + b‘ * y = 1的一组整数解x0,y0，则c‘ * x0,c‘ * y0是方程a‘ * x + b‘ * y = c‘的一组整数解；
    3、根据数论中的相关定理，可得方程a‘ * x + b‘ * y = c‘的所有整数解为：
    x = c‘ * x0 + b‘ * t
    y = c‘ * y0 - a‘ * t
    (t为整数)
*/

 

素数

素数的三种筛法

朴素算法   //O( n*sqrt(n) )

bool Isprime( LL n )
{
    for( LL i=2;i*i<=n;i++ )
        if( n%i==0 ) return false;
    return true;
}

Eratosthenes筛法   //O( n*log n )

void Eratosthenes( int n )
{
    memset(Isprime,true,sizeof(Isprime));
    for( int i=2;i<=n;i++ )
    {
        if( Isprime(i) )
            for( int j=i*i;j<=n;j+=i )
                Isprime[j]=false;
    }
}

欧拉算法   //O(n)

void Euler(int n)
{
    memset(Isprime,true,sizeof(Isprime));
    for( int i=2;i<=n;i++ )
    {
        if( Isprime[i] )
            prime[++cnt]=i;
        for( int j=0;j<=cnt;j++ )
        {
            if( prime[j]*i>n ) break;
            Is[ prime[j]*i ] =false;  //与下一行代码不可交换
            if( i%prime[j]==0 ) break;
        }
    }
}

 

幂运算

 快速幂  //O(log n)

LL Pow( LL x,LL n )
{
    LL res=1;
    while(n){
        if( n&1 ) res*=x;
        x*=x;
        n>>=1;
    }
    return res;
}