[数论+模板] 快速幂及快速幂求逆元算法模板(模板)

Posted 2022-06-30 Ypuyu

文章目录

• • 1. 快速幂+模板
  • 2. 快速幂求逆元+模板

1. 快速幂+模板

875. 快速幂

重点： 二进制分解

我觉得我总结的还是比较清晰的…就是将指数进行二进制分解，然后查看二进制分解下的那些位是 1 就将对应预处理出来的值乘上即可。这个预处理的值很简单，当前项总是上一项的平方再取模即可。相当于预处理出了二进制意义下的所有位的值，即，如果指数在 int 范围内的话，那么也只需要预处理出 32 个二进制意义下的 $a^{2^t}\%p$，就能在二进制意义下组合出任意指数的 $a^k\%p$ 的结果了。

快速幂类似于快排，算法思想很巧妙，边界情况繁多，这个板子经过千锤百炼还是很不错的，大力推荐~

注意：

• 快速幂应用的非常多，尤其在数论问题中
• 数论问题大多需要开 long long

模板代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

int qmi(int a, int k, int p) 
    int res = 1;
    while (k)                              // 相当于求k的二进制表示有多少位1
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;   // 当前位是1，则累乘当前预处理的a
        k >>= 1;                            // k右移一位，查看二进制意义下的下一位
        a = (LL)a * a % p;                  // 平方求得预处理的下一项值
    
    return res;


int main() 
    int n;
    cin >> n;
    
    while (n --) 
        int a, k, p;
        cin >> a >> k >> p;
        
        cout << qmi(a, k, p) << endl;
    
    
    return 0;

2. 快速幂求逆元+模板

876. 快速幂求逆元

重点： 逆元、快速幂、费马小定理

公式推导如上。 乘法逆元主要解决的一个问题就是：将 a 除 b 取余问题转化为 a 乘 b 的逆元再取余的问题。即，完成了除法取余到乘法取余的等价变形。当然需要满足一定条件才可以进行等价变形。

模板代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

int qmi(int a, int k, int p) 
    int res = 1;
    while (k) 
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
        k >>= 1;
        a = (LL)a * a % p;
    
    return res;


int main() 
    int n;
    cin >> n;
    
    while (n --) 
        int b, p;
        cin >> b >> p;
        
        // b为p的倍数，则一定无解，因为bx模p为0
        // b不为p的倍数，由p为素数可知，b、p互质，可由费马小定理构造出一组解，故一定有解
        // 注意p=2时，其为质数，快速幂计算结果返回1，是一个特殊情况
        if (b % p == 0) puts("impossible");
        else cout << qmi(b, p - 2, p) << endl;
    
    
    return 0;

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